数値計算のための解析力学
∗
陰山 聡
神戸大学システム情報学研究科 計算科学専攻
『解析力学 B』（工学部情報知能工学科）講義資料
ver. 2017.01.26
∗
これは神戸大学工学部情報知能工学科の講義『解析力学 B』用の資料です。講義の進
捗にあわせてこの資料は加筆・修正していきます。わかりにくい記述や、不正確な表現、
間違いに気がついたら講義の際（あるいはメールで）指摘してください。
Contents
1 運動方程式と数値積分 11
1.1 調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 自然長がゼロでないバネ＝質点系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 例 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 例 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 例 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 数値積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 可視化とサンプルコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 ラグランジアン 19
2.1 系の自由度と一般化座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 表記方法についてのいくつかの注意 . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 系の自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 ポテンシャルの定義（復習） . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 ポテンシャルの例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 ラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 ラグランジアンとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 1 自由度系のラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 多自由度系のラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 ラグランジアンの不定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 演習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 演習 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 演習 2: レポート課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 ラグランジュの運動方程式 33
3.1 ラグランジアンでニュートンの運動方程式 . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 ラグランジュの運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 ラグランジュの運動方程式の簡単な例 . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 演習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 直線上を滑る質点＝バネ系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 滑りながら倒れる棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.3 円上の質点＝バネ系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.4 バネ＝質点 2 自由度系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
CONTENTS
3.4.5 ころがる円についたおもり . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.6 2 次元調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 剛体の運動方程式 53
4.1 オイラー角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 静止系での角速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 回転系での角速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 簡潔な計算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 ラグランジュの運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.2 ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.3 ラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.4 ラグランジュの運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 オイラー方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 剛体の角運動量とエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 不変性と保存則 69
5.1 点変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 循環座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.3 運動量と角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 ラグランジアンの不定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4
荷電粒子の運動
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5.1 一様磁場中の荷電粒子: レポート課題 . . . . . . . . . . . . 82
5.5.2 逆 2 乗引力と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.3 レポート課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5.4 荷電粒子の運動方程式: レポート課題（おまけ） . . . . . 87
6 ハミルトニアンと正準方程式 89
6.1 ラグランジュの運動方程式と数値計算 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 ルジャンドル変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 正準方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.1 1 自由度系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.2 多自由度系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.3 相空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4.4 簡単な例:調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 ハミルトニアンとエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6 正準方程式のイメージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7 リウヴィルの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.8 演習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8.1 問題 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8.2 問題 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.8.3 問題 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
数値計算のための解析力学 4
CONTENTS
6.8.4 問題 4: レポート課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8.5 問題 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7 正準変換とポアッソン括弧 111
7.1 座標変換の必要性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 正準変換の直接条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 正準変換としての点変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 正準変換の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6 シンプレクティック条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7 ポアッソン括弧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.8 ポアッソン括弧を使った運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.9 ポアッソン括弧の正準変換不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.10 正準変換としての運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.11 無限小正準変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.12 不変性と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.13 数値積分と正準変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.14 練習問題: レポート課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8 ハミルトンの原理 137
8.1 汎関数と変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2 ハミルトンの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3 拡張されたハミルトンの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4 シンプレクティック積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.5 オイラー=ラグランジュ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9 シンプレクティック積分法 151
9.1 シンプレクティック積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2 1 次陽的シンプレクティック法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3 練習問題: レポート課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.4 シンプレクティック性の由来 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.1 正準方程式の形式的厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.2 時間推進演算子が解ける例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.4.3 合成変換による厳密解の近似 . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.5 エネルギーの誤差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.6 高精度化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A 数値積分法 167
A.1 1 次オイラー法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 2 次ルンゲ=クッタ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.3 4 次ルンゲ=クッタ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.4 時間依存のない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.5 連立微分方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.6 2 階微分方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
数値計算のための解析力学 5
はじめに
ニュートン力学と解析力学
ニュートン力学における中心的な量は「力」というベクトルでした。解析力学
において基本となるのはラグランジアンとハミルトニアンという関数です。「力」
という概念はほとんど出てきません。ラグランジアンとハミルトニアンは解析力
学から生まれたものですが、古典力学の範疇を超えて、量子力学から制御理論、
さらには経済学などにも登場します。
ニュートン力学の基本方程式はニュートンの運動方程式の一つだけでした。解
析力学には基本方程式がたくさん登場します。これらの式は見た目が全く違うの
ですが、同じ力学の問題に対しては当然のことながら同じ解を導きます。もちろ
んその解はニュートンの運動方程式を解いて得られるものと同じです。
どうせ同じ解になるのであれば、ニュートンの運動方程式があれば十分では
ないかと思うかもしれません。しかし解を求めるためには、方程式（運動方程式）
を立てなければなりません。このとき、ニュートンの運動方程式を使うよりも、
解析力学の運動方程式を使う方がずっと簡単に方程式を立てることができるので
す。それはそれは、解こうとしている力学の系に対して方程式を運動方程式は解
析力学で使える座標系がニュートンの運動方程式とくらべてずっと自由に設定で
きるためです。
微分方程式の解
普通、解析力学の教科書に出てくる例題や練習問題は、似通っているものが
多く、あまりバリエーションがあるようには見えません。これは解析力学で解け
る問題の種類が限定されているというわけでは決してなく、むしろ逆です。
解析力学が提供のは、結局のところ運動方程式を立てるためのアルゴリズム
です。与えられた特定の力学の問題に対して、適切な座標を設定すれば、解析力
学の機械的な手続きに従って微分方程式（＝運動方程式）を立てることができま
す。ここまでが解析力学の仕事で、その微分方程式を解くことは別の問題です。
ところが、多くの力学問題に対しては、そうして立てた微分方程式を解析的
∗
に解けるような場合はむしろ例外です。解析力学の教科書で採用される例題が似
通っている理由はここにあります。「この力学の系を解くための方程式はこれだ
が、この方程式の解を紙とペンで計算することはできない。」という例題ばかりで
∗
ここでいう「解析的に」という意味は、計算機を使わず数学的に答えを求める、という意味です。
7
CONTENTS
はまずいので、解析的に解ける形の微分方程式に定式化されるような力学の問題
が集められる傾向にあるわけです。
ある種の近似の適用すると解析的に解ける微分方程式になるような力学の例
題は多数あります。しかしながらそのような近似はほとんどの場合、「平衡状態か
らのずれが微小」という近似で、そこから得られるのは後に述べる調和振動子系
（バネと質点の系）に問題と等価なものばかりとなりがちです。
具体的な例を挙げてみましょう。二つの質点（質量 m）がバネ（自然長 ℓ
0
）で
つながれ、それぞれ放物線 y = x
2
+ 1（上側）と y = −x
2
−1（下側）上に拘束さ
れているとします。この二つの質点はどう運動するでしょうか？ 力学の問題設定
としては極めて単純です。高校生にも分かる内容ですし、時間をかければこの問
題に対するニュートンの運動方程式を立てることができるかもしれません。
上の質点の x 座標を x
1
、下の質点の x 座標を x
2
とすると、運動方程式は次
の二つの式です。（ニュートン力学をつかっても解析力学をつかっても同じ式に
なります。）
m¨x
1
= −
1
4x
2
1
+ 1
4mx
1
˙x
2
1
+ k
x
1
− x
2
+ 2x
1
[x
2
1
+ x
2
2
+ 2]
m¨x
2
= −
1
4x
2
2
+ 1
4mx
2
˙x
2
2
+ k
x
2
− x
1
+ 2x
2
[x
2
1
+ x
2
2
+ 2]
複雑な連立微分方程式ですね。この解析解を求めることは至難の業です。
運動方程式の数値解
この講義で解析力学を学べば上に書いた運動方程式を（実際にはこの程度の
問題であれば、この講義の最初の数回を聞くだけで）作るためのアルゴリズムを
習得できます。そのアルゴリズムに従って運動方程式を立てることは極めて簡単
な作業で、簡単な微分計算に慣れていれば、ほとんど頭を使わないほどです。と
ころができあがった方程式は上に見たように、解析的には解けそうもない微分方
数値計算のための解析力学 8
CONTENTS
程式です。だからこそ、このような例題が解析力学の教科書にはあまり載ってい
ないのでしょう。
しかし諸君が他の講義・演習を通じて既に知っているとおり、いくら長くて複
雑な微分方程式でも計算機を使って数値積分すればその近似解は求まります。で
すから遠慮する必要はありません。この講義ではこのような問題、つまり「単純
で興味深いが、解析的に解けそうもない運動方程式になる力学の問題」を例題と
してどんどん採用します。そしてその一部は実際に数値積分を行って数値解を求
めます。ですからこの講義の特徴は「数値積分を積極的に活用した解析力学」（略
して「数値的解析力学」）と表現することができます。
ただし、解析的に解くことを軽視するわけでは決してありません。紙とペンで
解けることが明かな問題に対して、それと気付かずに数値計算して解こうとする
ことは情けないことです。計算機に頼らずに解けるはずの簡単な微分方程式を、
きちんと自分の手で解けるようになることは理工系学生としては解析力学以前の
教養と言えます。ですからこの講義はそのような簡単な微分方程式を解く訓練に
なるようにもします。
シンプレクティック積分法
最近、シンプレクティック法と呼ばれる数値積分法が様々な分野で使われて
います。このシンプレクティック法は解析力学と深く関係しています。
数値積分法にはさまざまな種類があります。例えば有名なルンゲ＝クッタ法
などは、その基礎から応用までさまざまなで場面でみなさんは既におなじみかも
しれません。しかしながら、ルンゲ＝クッタ法などの古くからある数値積分法を
そのまま使うと数値誤差が深刻な問題を引き起こしてしまうような力学の問題が
あります。（どんな種類の力学の問題に対して、どのような問題が生じるのかこの
講義の最後の方で説明します。）そのような場面で威力を発揮するのがシンプレク
ティック法です。ルンゲ＝クッタ法などと比較すると新しいこの手法は、その簡
単な紹介はあるにしても理論的な背景については詳しく学ぶ機会がなかったと思
います。それは無理もない話で、シンプレクティック法の理論的背景というのは
まさに解析力学そのものだからです。
この講義「数値的解析力学」では、シンプレクティック法の理論的背景を理解
することを最終的な目標とします。
数値計算のための解析力学 9
Chapter 1
運動方程式と数値積分
1.1 調和振動子
解析力学の応用範囲は広く、剛体の力学や荷電粒子の運動、あるいは電磁場
の時間発展などにまで適用できるが、この講義では例題として線形バネと質点か
らなる系（バネ＝質点系）を中心に扱う。同じ力学問題を繰り返し扱うことで、
様々な解析力学の手法が理解しやすくなるであろう。
例えば、自然長がゼロの線形バネの一端を原点につなぎ、他方の端を質点に
つないだ系を考えよう。質点には、原点の方向に向かってはたらき原点からの距
離に比例した力が働く。
m
F
r
図 1.1: 調和振動子系。
この系は、一般的には原点のまわりに 3 次元的な運動をするが、まずは簡単
のために、質点が z 軸に沿った方向に振動する場合を考えよう。
11
第 1 章 運動方程式と数値積分
質点の位置を z、質量を m、質点に働く（z 方向の）力を F とすると、
F = −kz
である。ニュートンの運動方程式
ma = F
を使ってこの運動を解いてみよう。運動方程式の z 成分を書くと
m
d
2
z
dt
2
= −kz
である。この微分方程式を解いてみよう。定数 ω を
ω
2
:=
k
m
と定義すると、解くべき微分方程式は
d
2
z
dt
2
= −ω
2
z (1.1)
である。この微分方程式の解は、c
1
, c
2
を定数とすると
z(t) = c
1
cos (ωt + c
2
), (1.2)
あるいは
z(t) = c
′
1
cos (ωt) + c
′
2
sin (ωt) (1.3)
である。質点は角振動数 ω で振動する。これを単振動という。このような系は調
和振動子と呼ばれる。
1.2 自然長がゼロでないバネ＝質点系
上と同じように質量 m の質点が z 軸方向に沿って運動しているとする。質点
と原点はやはりバネ定数 k のバネでつながれているが、今度はそのバネの自然長
が ℓ
0
とする。
1.2.1 例 1
z 方向の力は F = −k(z − ℓ
0
) である。運動方程式に代入して z に対する微分
方程式
m
d
2
z
dt
2
= −k(z − ℓ
0
)
を得る。この微分方程式を解いてみよう。座標を変換し
q := z − ℓ
0
数値計算のための解析力学 12
1.2 自然長がゼロでないバネ＝質点系
m
z
図 1.2: 直線（z 軸）上の質点の運動。バネの一端は原点に、他端が質点に固定さ
れている。
とすると上の微分方程式は
m
d
2
q
dt
2
= −kq
となる。定数 ω を
ω
2
:=
k
m
と定義すると、解くべき微分方程式は
d
2
q
dt
2
= −ω
2
q (1.4)
である。これは式 (1.1) と同じ式であり、解は、
q(t) = c
1
cos (ωt + c
2
), (1.5)
あるいは
q(t) = c
′
1
cos (ωt) + c
′
2
sin (ωt) (1.6)
である。つまり
z(t) = ℓ
0
+ c
1
cos (ωt + c
2
). (1.7)
が解である。
1.2.2 例 2
次に上の問題設定を少しだけ変えてみよう。
数値計算のための解析力学 13
第 1 章 運動方程式と数値積分
m
z
x
θ
図 1.3: 質点は直線 z = ℓ
0
上を滑らかに動く。
同じ質点とバネを今度は z = ℓ
0
（ちょうど自然長の位置）の直線上に置き、質
点はこの直線上を滑らかに（摩擦なしで）動くとする。バネの一端は原点に固定
されている。
運動方程式を書いてそれを解いてみよう。
質点の x 座標を x、x 方向の速度を
dx
dt
、加速度を
d
2
x
dt
2
とする。質点が原点方
向に引かれる力を F とすると
F = −k(ℓ −ℓ
0
)
ℓ =
ℓ
2
0
+ x
2
である。したがって x 方向の力 F は
F
x
= F sin θ
= F
x
ℓ
= −k(ℓ −ℓ
0
)
x
ℓ
= −kx
1 −
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
運動方程式
m
d
2
x
dt
= F
に代入すると
m
d
2
x
dt
2
= −kx
1 −
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
(1.8)
数値計算のための解析力学 14
1.2 自然長がゼロでないバネ＝質点系
がニュートンの運動方程式である。
この方程式を解けと言われても、今度は簡単には解けない。仕方がないので
|x| ≪ ℓ
0
という近似をしてみる。つまり z 軸の近くで微小な振幅で振動するような解を探
すわけである。するとこのときには
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
∼ 1 −
1
2
x
ℓ
0
2
となるので、この近似の下で運動方程式は
m
d
2
x
dt
= −kx
1 −
1 −
1
2
x
ℓ
0
2
= −
kx
3
2ℓ
2
0
となる。定数
ω =
k
2mℓ
2
0
を定義すると、この微分方程式は
d
2
x
dt
2
= −ωx
3
という（見た目は）簡単な式になる。この微分方程式は解析解がある。
1.2.3 例 3
上の二つの例では、ニュートン力学を知ってさえいれば簡単に運動方程式を
立てることができた。ところが、簡単なバネ＝質点系に限ったとしても、いつも
これほど簡単というわけではない。具体的に考えてみよう。以下はこの講義の冒
頭（p.8）で紹介した問題を少し変えた（バネの自然長がゼロでない場合も考えた）
問題である。
図 1.4で示すように、二つの放物線
y = x
2
+ 1 （上側）
と
y = −x
2
− 1 （下側）
に二つの質点（質量 m）がそれぞれ放物線上に拘束されて動くとする。質点同士
はバネ（バネ定数 k、自然長 ℓ
0
）で結ばれている。摩擦は無視する。この質点の
運動を求めよ。
実際に解く前に解の様子をおおざっぱに予測してできるであろうか？二つの
質点が自然長 ℓ
0
よりも近い位置にあると反発力が働いて互いに遠ざかるように動
く。逆に二つの質点が離れていたら互いに近づこうとする。だが、距離だけで運
動が決まるわけでは無論ない。質点の慣性があることを忘れてはいけない。二つ
の放物線の間隔は 2 だから、自然長 ℓ
0
が 2 よりも大きいか小さいかで、二つの質
点の運動の仕方はかなり変わりそうである。いろいろ予測が付かない中で、一つ
確かなことは、「全エネルギーは保存する」ということである。つまりバネの持つ
エネルギーと二つの質点が持つ運動エネルギーの和は常に一定である。
数値計算のための解析力学 15
第 1 章 運動方程式と数値積分
m
m
図 1.4: 放物線に拘束された二つの質点の運動（再掲）。
1.3 数値積分
簡単な問題であるにもかかわらず解析的な解を得ることができない有名な例
として重力で互いに引き合う 3 つの質点の運動（三体問題）がある。ここで「解
析的に解けない」というのは、微分方程式の一般解、つまり任意の初期条件に対
する解を数式で表現することができない、という意味である。
計算機のない時代であれば、それであきらめるしかなかったが、今は計算機
を使うことで、その微分方程式の解を得ることができる。それは一般解を得るこ
とができる、という意味ではなく、特定の初期条件に対する解をある精度のもと
で近似的に得ることができるという意味であるが、実用的にはそれで十分である
場合が多い。
ではその解くべき方程式を導くのは簡単かと言えば、そうではないことはこ
の問題をニュートン力学の範囲で解こうとがんばった諸君は身にしみて感じてい
るのではないかと思う。不可能というわけでは無論ない。それぞれの質点にかか
る力のベクトルを考え、そのベクトルを放物線の接線方向とそれに垂直な方向に
分解し、云々といった複雑な手続きを経れば二つの質点に対するニュートンの運
動方程式を立てることはできるであろう。
だが解析力学を学べば、そのような複雑な手順が一切不要となる。この講義
で説明するアルゴリズムに従えば自動的に次のような方程式（ラグランジュの運
動方程式）が得られる。
(1 + 4x
2
0
)¨x
0
= −4x
0
˙x
2
0
−
k
m
s −l
0
s
(∆x + 2x
0
∆y) (1.9)
(1 + 4x
2
1
)¨x
1
= −4x
1
˙x
2
1
−
k
m
s −l
0
s
(−∆x + 2x
1
∆y) (1.10)
ここで x
0
と x
1
はそれぞれの質点の x 座標である。また式を短くするために以下
の変数を導入しているが、本質的ではない。
∆x = x
0
− x
1
∆y = x
2
0
+ x
2
1
+ 2
数値計算のための解析力学 16
1.4 可視化とサンプルコード
s =
∆x
2
+ ∆y
2
このラグランジュの運動方程式を導くアルゴリズムは極めて単純で、微分計
算さえ間違わなければほとんど自動的に得られるものである。そのアルゴリズム
がどのようなものであるかはこれからの講義のお楽しみとして、今はこの方程式
をいかにして解くかという問題について考えてみよう。
上の二つの式 (1.9) と (1.10) は変数 x
0
と x
1
に対する微分方程式系である。こ
れを解析的に解くことはとてもできそうにないので、数値解を求めよう。微分方程
式を解く操作やその解を「積分」というのと同様、微分方程式を四則演算の問題に変
換して数値的に近似解を得る操作を「数値積分」という。通常我々は時間 t は実数
であると考えている。数値積分では、稠密に分布する全ての時刻 t での解を得るこ
とを諦めて、有限の時間間隔 ∆t ごとの「飛び飛びの」時刻、t
0
, t
0
+∆t, t
0
+2∆t, ···
ごとの解を求める方法である。この飛び飛びの時刻での近似解を求めるのが数値
積分である。
数値積分にはさまざまな方法があり、それぞれ一長一短がある。どのような
問題でもそうであるが、方程式の近似解を計算機を使って求める場合、ある程度
の誤差は常に存在する。誤差が小さい方法が望ましいのはもちろんであるが、∆t
の時間刻み幅での数値積分をなんども繰り返しているうちに誤差が蓄積して「と
んでもない」答えが得られるようでは困る。「とんでもない答え」とはたとえば
今の場合、系の全エネルギー（バネのエネルギーと質点の運動エネルギーの和）
が、数値積分を重ねているうちに大きく変わっていってしまうような答えである。
従って、エネルギーが厳密に保存することはできないにせよ、長時間数値積分し
てもエネルギーの値が大きくずれていくことはない数値積分法が望ましい。その
ような方法は実際にあって、それはシンプレクティック積分法と呼ばれる。
シンプレクティック積分法に基づいて上の式 (1.9) と (1.10) を「四則演算化」
する方法は、この講義の最後の方で紹介する。この講義を最後まできけば、その
理論的な根拠を理解することができるであろう。
1.4 可視化とサンプルコード
数値積分の計算結果は数字なので、それを目に見えるように可視化すること
も重要である。この講義では、OpenGL や Processing
∗
を使って数値積分の結果
を可視化する予定である。Processing はオープンソースの可視化ツールである。
簡単にインストールできるので自分でも試してみると良い。
上の式 (1.9) と (1.10) を 4 次のルンゲ=クッタ法で積分する Processing プロ
グラムを作成した。ソースコード：
two_balls_on_parabolas.pde
はこの講義の web page からダウンロードできる。
このプログラムを動かすと、「果たしてこれは周期運動なのだろうか？」という
疑問がわくであろう。パラメータを k/m = 8, ℓ
0
= 2.9 とし、x
1
= 1.5, x
2
= −0.8
のから出発したとき（初速度はゼロ）の計算結果を、横軸に x
1
の値、縦軸に x
2
の値をプロットしたものを図 1.5に示した。明らかに周期運動ではなく、ほぼ円
形の領域を埋め尽くすような軌跡を描くことが分かる。また、描かれる軌跡は初
∗
https://processing.org
数値計算のための解析力学 17
第 1 章 運動方程式と数値積分
図 1.5: x
1
（横軸）と x
2
（縦軸）の軌跡。
期条件に敏感に依存して大きく変わることも確認できる。このような運動はカオ
スと呼ばれる。
x
1
-x
2
の軌跡を描くこのプログラムは
two_balls_on_parabolas_pde_x1_x2_map.pde
である。これもこの講義の web page からダウンロードできる。
数値計算のための解析力学 18
Chapter 2
ラグランジアン
2.1 系の自由度と一般化座標
2.1.1 表記方法についてのいくつかの注意
この資料では、3 次元空間のカーテシアン座標を
(x, y, z)
と書いたり、
(x
1
, x
2
, x
3
)
と書いたりする。
x 軸に沿って動く質点 P の時刻 t における位置を x(t) と書くとき、P の速度は
v =
dx
dt
である。この資料では表記を簡潔にするために、
v = ˙x
とも書くことが多い。同様に、2 階の時間微分
d
2
x
dt
2
を
¨x
と書くことがある。
速度ベクトルは
v
と書く。3 次元の場合その成分は
v = (v
x
, v
y
, v
z
) = (v
1
, v
2
, v
3
)
19
第 2 章 ラグランジアン
と書く。
添え字を使うと、ベクトルの内積は
a ·b =
3
j=1
a
j
b
j
と簡潔に書ける。
質点 m、速度 v の質点がもつ運動エネルギー K は、1 次元では
K =
1
2
m ˙x
2
3 次元では
K =
1
2
m
˙x
2
1
+ ˙x
2
2
+ ˙x
2
3
=
m
2
3
j=1
˙x
2
j
と書ける。
2.1.2 系の自由度
解析力学で使う座標系はカーテシアン座標系とは限らない。それぞれの問題に
応じて便利な座標系を自由にとることができるのが解析力学の便利なところであ
る。この点については後で詳しく説明する。もちろん球座標や、円筒座標といっ
たカーテシアン以外の「普通の」座標系でもいいが、もっと自由な（便利な）座
標をとってよい。
たとえば、一つの質点の運動を考えている場合、その質点の位置が指定でき
るなら、どんな座標をとってもいい。x-y 平面上の放物線 y = x
2
型のレールの上
に拘束されて（このレール上を滑って）動く質点を考えると、この質点の位置は
（y 座標では無理だが）x 座標を指定すれば一意に決まる。あるいは原点を出発点
としてレールに沿った符号付きの長さ s を座標としても良い。
x = - 0.763929
s = -1
たとえば s = −1 というのは、原点から x 軸の負の方向に向かい、この放物線に沿
って 1 だけ滑った位置である。これは質点の x 座標の値を使った x = −0.763929...
と同じ位置を意味する。
その系の「位置」を記述するのに必要な実数変数を一般化座標、その実数がい
くつ必要かという数をその系の自由度という。上の図の系の自由度は 1 である。
数値計算のための解析力学 20
2.1 系の自由度と一般化座標
先週の講義で例としてあげた二つの放物線に沿って動く（バネで結ばれた）二
つの質点の系の自由度は 2 である。この系の位置を記述するのに、二つの質点の
x 座標の値の組 (x
0
, x
1
) や、それぞれの放物線に沿った（符号付きの）長さを使っ
た (s
0
, s
1
) を一般化座標としてとることができる［下の図参照］。
解析力学が便利なのは、どんな一般化座標系をとっても方程式の形が同じにな
るからである。（これから紹介する）ラグランジュの運動方程式は、一般化座標を
x とすると、
F (x, ˙x, ¨x) = 0 （x に関する 2 階の微分方程式）
という形をしている。そして、x とは別の一般化座標 s をとったとき、この系の
運動方程式は、
F (s, ˙s, ¨s) = 0 （s に関する 2 階の微分方程式）
てある。ここでポイントは、上の二つの F = 0 という微分方程式は、（中に入っ
ている変数は x と s で異なっていても）微分方程式の形としては同じであるとい
うことである。ニュートン力学ではこうはいかない。
上に述べたように、ある系のスナップ写真をとった時、その瞬間の系の「位
置」を記述するのにいくつの実数が必要なのかというその数が系の自由度である。
だが「位置」だけでは、その瞬間のその系その「状態」を完全には記述できない。
その瞬間の直後、系がどう変化するか（質点の場合にはどの方向にどの速さで動
くか）という情報、つまり速度の情報も必要である。
数値計算のための解析力学 21
第 2 章 ラグランジアン
2.2 ポテンシャル
2.2.1 ポテンシャルの定義（復習）
力 F があるスカラー関数 U を使い
F = −∇U
あるいは成分表示で、
F
i
= −
∂U
∂x
i
と書けるとき、F は保存力、U は F のポテンシャルと呼ばれる。この定義から
明らかなように、ポテンシャルは定数分だけ不定である。
ここで勾配 ∇について復習しておこう。2 次元平面 (x, y) 上の関数 f (x, y) の
勾配ベクトル ∇f(x, y) は、その点で f がもっとも増大する方向を指す。その点
を通る f の等高線をとると、その等高線に垂直な二つの方向のうち、∇f(x, y) か
向くのは f が大きい方である。
2.2.2 ポテンシャルの例
線形バネ バネ定数 k、自然長 ℓ
0
のバネを考える。質量 m の質点が x 軸に沿っ
て動くとすると力は
F
x
= −k(x −ℓ
0
) (2.1)
である。ポテンシャルは
U(x) =
k
2
(x −ℓ
0
)
2
(2.2)
である。
数値計算のための解析力学 22
2.2 ポテンシャル
m
φ
(r, φ)
(r, rφ)
r
2 次元調和振動子 調和振動子系を考える。極座標 (r, ϕ) をとる。力は原点に向
かう方向で、原点からの距離 r に比例する。ポテンシャルは
U(r) =
k
2
r
2
(2.3)
である。
一様重力 −z 方向の一様な重力を考える。重力加速度は g とする。質量 m にか
かる重力は、
F = (0, 0, −mg)
であり、そのポテンシャルは
U(x, y, z) = mgz
である。あるいは
U(x
1
, x
2
, x
3
) = mgx
3
と書くこともある。
逆自乗重力のポテンシャル
F
i
= −GMm
x
i
r
3
U = −GMm
1
r
ちなみに、覚えておくと便利な式：
∂
∂x
i
r
n
= nr
n−1
x
i
r
数値計算のための解析力学 23
第 2 章 ラグランジアン
2.3 ラグランジアン
2.3.1 ラグランジアンとは
解析力学は、「力学」といいながらも「力」という概念はほとんど出てこない。
代わって中心的な役割を果たすのがここで紹介する「ラグランジアン」と
∗
と、後
ほど紹介する「ハミルトニアン」という関数である。
ラグランジアンの定義は
ラグランジアン＝（運動エネルギー）−（ポテンシャル）
である。ラグランジアンを L、運動エネルギーを K、ポテンシャルを U と書けば、
L = K − U
である。
2.3.2 1 自由度系のラグランジアン
質点の投げ上げ問題 ラグランジアンを具体的に作ってみよう。重力加速度を g
とし、質量 m の質点を真上に投げ上げたときの運動を考える。鉛直上向きに軸を
とり、時刻 t の質点の位置を一般化座標 q(t) でかく。質点の速度は dq/dt = ˙q で
ある。
m
z
この系の運動エネルギーは
K =
1
2
m ˙q
2
ポテンシャルは、
U = mgq
∗
この講義では、天下り式にラグランジアンとラグランジュの運動方程式を導入する。
数値計算のための解析力学 24
2.3 ラグランジアン
である。したがってこの系のラグランジアンは、
L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
− mgq (2.4)
である。
ラグランジアン L はエネルギーと同じ次元（SI 単位系ではジュール（J））を
もち、一般化座標 q とその時間微分 ˙q の関数である。
直線上の線形バネ（調和振動子） 次に、x 軸の上を滑らかに動く質点の運動を
考えよう。線形バネ（自然長 ℓ
0
, バネ定数 k）が原点とこの質点につながれてい
るものとする。
x m
k
質点の一般化座標とその時間微分（速度）を q と ˙q (= dq/dt) とすると、この
系の運動エネルギー（=質点の運動エネルギー）は
K =
1
2
m ˙q
2
,
この系のポテンシャル（＝バネのポテンシャル）は
U =
k
2
(q − ℓ
0
)
2
である。従って、この系のラグランジアン L は
L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
−
k
2
(q − ℓ
0
)
2
である。バネの自然長が 0 なら
L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
−
k
2
q
2
となる。
2.3.3 多自由度系のラグランジアン
調和振動子 次に自由度が 2 の系を考えてみよう。x
1
-x
2
平面で調和振動子系を
考える。つまりバネ定数 k、自然長 ℓ
0
= 0 の線形バネが、質量 m の質点と、そ
して他端が原点に固定されている。
数値計算のための解析力学 25
第 2 章 ラグランジアン
m
k
x
2
x
1
(x
1
, x
2
)
(x
1
, x
2
)
質点の位置座標を (x
1
, x
2
) とすると、質点の速度は ( ˙x
1
(t), ˙x
2
(t)) である。系
の運動エネルギーは
K =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
).
ポテンシャルは
U =
k
2
(x
2
1
+ x
2
2
).
従ってこの系のラグランジアンは
L(x
1
, x
2
, ˙x
1
, ˙x
2
) =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
) −
k
2
(x
2
1
+ x
2
2
) (2.5)
である。
万有引力 次に万有引力（逆自乗力）の下での質点の運動を考えよう。原点に質
量 M の太陽がある。太陽は動かないとする。太陽の引力の下での質量 m の地球
（質点）の運動を考える。
数値計算のための解析力学 26
2.3 ラグランジアン
m
x
2
x
1
x
3
(x
1
, x
2
, x
3
)
(x
1
, x
2
, x
3
)
M
r
カーテシアン座標系 x
1
-x
2
-x
3
を使って、地球の位置を座標 (x
1
, x
2
, x
3
) と書
く。すると速度は ( ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) である。地球の運動エネルギーは
K =
m
2
v
2
=
m
2
v
2
1
+ v
2
2
+ v
2
3
=
3
j=1
m
2
˙x
j
˙x
j
=
m
2
˙x
j
˙x
j
重力のポテンシャルは
U = −
GMm
r
= −
GMm
3
j=1
x
j
x
j
であるここで G は万有引力定数
G = 6.67384 ×10
−11
(m
3
kg
−1
s
−2
)
である。従って、この系のラグランジアン L は
L(x
1
, x
2
, x
3
, ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) =
m
2
˙x
j
˙x
j
+
GMm
3
j=1
x
j
x
j
である。
バネが二つある場合 p. 23で x
1
–x
2
平面上のバネ質点系を考えた。今度は、質点
が二つのバネに質点（質量 m）がつながれている場合を考えてみよう。バネ定数
はもとの半分の k/2 としてみる。自然長は 0 のままとする。
数値計算のための解析力学 27
第 2 章 ラグランジアン
m
k / 2
x
2
x
1
(x
1
, x
2
)
(x
1
, x
2
)
-1 1
k / 2
一方のバネの端は x
1
軸上の点 (x
1
, x
2
) = (−1, 0) に固定されており、もう一
方のバネの端は (x
1
, x
2
) = (+1, 0) に固定されているものとする。質点の位置を
(x
1
, x
2
)、速度を ( ˙x
1
, ˙x
2
) とすると、系の運動エネルギーは
K =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
)
である。これは以前と変わりない。一方、系のポテンシャル U は、二つのバネの
ポテンシャル
U
1
=
k
4
(x
1
− 1)
2
+ x
2
2
)
と
U
2
=
k
4
(x
1
+ 1)
2
+ x
2
2
)
の和である。従って
U =
k
2
(x
1
− 1)
2
+ x
2
2
)
+
(x
1
+ 1)
2
+ x
2
2
)
である。従ってこの系のラグランジアンは
L(x
1
, x
2
, ˙x
1
, ˙x
2
) =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
) −
k
4
(x
1
− 1)
2
+ x
2
2
)
+
(x
1
+ 1)
2
+ x
2
2
)
(2.6)
である。
ニュートン力学では、「力ベクトル」とか「加速度ベクトル」というベクトル
量が基本的な役割を果たす。ニュートンの運動方程式を立てるときにベクトルの
成分を分解して考える必要があるので、そのために計算が煩雑になることが多い。
力（ポテンシャル）の源が複数ある時にはさらに解法が複雑になる。
一方、解析力学では、ラグランジアンというスカラー関数が基本的な役割を
果たす。ラグランジアンの構成に必要なポテンシャルは、複数の源があってもそ
れを単に足せばいいだけなので、計算は簡単である。
数値計算のための解析力学 28
2.4 演習
2.3.4 ラグランジアンの不定性
次章で紹介する「ラグランジュの運動方程式」はラグランジアンから作る微
分方程式である。ラグランジアンが同じ系は同じ運動方程式を導くので力学の系
としては本質的に同じといえる。
ポテンシャルは定数分だけ不定なので、ラグランジアンもまた定数分だけ不
定であることに注意しよう。つまり二つの力学の系のラグランジアンがほとんど
同じで、その差が定数分だけのとき、その二つの系の運動方程式は同じである。
初期条件が同じであれば同じ解を持つ。
一つのバネが原点につながれたときのラグランジアン (2.5) と、上のラグラン
ジアン (2.6) を見てみよう。
見やすいようにここにもう一度書くと、一つのバネだけの時のラグランジア
ンは
L
a
(x
1
, x
2
, ˙x
1
, ˙x
2
) =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
) −
k
2
(x
2
1
+ x
2
2
) (2.7)
であった。バネが二つの時のラグランジアン (2.6) を整理すると、
L
b
(x
1
, x
2
, ˙x
1
, ˙x
2
) =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
) −
k
2
(x
2
1
+ x
2
2
) −
k
2
(2.8)
である。
この二つのラグランジアンは定数
k
2
だけの差しかない。従って質点は（初期
条件が同じであれば）も同じ運動をする。
2.4 演習
2.4.1 演習 1
m
y
x
k
x
x
x-y 平面上に y = ℓ
0
の直線がある。質量 m の質点がこの直線上を滑らかに
（摩擦なしで）動く。バネ定数 k で、自然長がちょうど ℓ
0
のバネがあり、その一
端は原点に、もう一端は質点に固定されている。質点の x 座標と x 方向の速度 ˙x
を使い、この系のラグランジアン L(x, ˙x) を書け。
数値計算のための解析力学 29
第 2 章 ラグランジアン
解答 運動エネルギーは
K =
m
2
˙x
2
であり、ポテンシャルは
U =
k
2
(ℓ −ℓ
0
)
2
である。ここで
ℓ =
x
2
+ ℓ
2
0
だから、ラグランジアンは
L(x, ˙x) = K − U =
m
2
˙x
2
−
k
2
x
2
+ ℓ
2
0
− ℓ
0
2
(2.9)
である。U に出てくる 2 乗の部分を展開しても構わない。
2.4.2 演習 2: レポート課題
y
x
1
s
x-y 平面上の直線 y = x + 1 がある。質量 m の質点がこの直線上を滑らかに
（摩擦なしで）動く。バネ定数 k、自然長 ℓ
0
がゼロ（ℓ
0
= 0）のバネがあり、そ
の一端は原点に、もう一端は質点に固定されている。直線と y 軸との交点からの
（符号付きの）距離を s を一般化座標として質点の位置を表現する。この系のラ
グランジアン L(s, ˙s) を書け。
数値計算のための解析力学 30
2.4 演習
1 上の問題を解け
2 今日の講義に関する質問・感想（なければ書かなくてもよい。採点には無
関係。）
【提出方法】次回の講義にて提出。学籍番号と名前を忘れずに！
【解】第 3.4.1章（p. 40）の問題 (a) の解答を見よ。
数値計算のための解析力学 31
Chapter 3
ラグランジュの運動方程式
3.1 ラグランジアンでニュートンの運動方程式
カーテシアン座標をとり、x 軸方向にだけ動く質点を考える。ポテンシャル U
の下での質量 m の質点の運動を記述するニュートンの運動方程式は
d
dt
(mv) +
∂U
∂x
= 0, (3.1)
である。ここで v は速度
v = ˙x (3.2)
である。
運動エネルギー K は
K =
m
2
v
2
(3.3)
である。これを v の関数とみて、v で偏微分してみよう。
∂K
∂v
= mv (3.4)
この右辺（=運動量）は式 (3.1) の左辺第一項に出てきた。そこで、式 (3.4) を (3.1)
に代入すると、ニュートンの運動方程式は
d
dt
∂K
∂ ˙x
+
∂U
∂x
= 0
,
(3.5)
である。ここで v の代わりに ˙x を使った［式 (3.2)］。
ポテンシャル U は多くの場合、質点の位置 x だけの関数で、速度 ˙x には依ら
ない。つまり、
∂U
∂ ˙x
= 0, (3.6)
である。また、
∂K
∂x
= 0, (3.7)
33
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
も成り立つので、ニュートンの運動方程式 (3.5) はこの系のラグランジアン
L(x, ˙x) = K( ˙x) − U (x) (3.8)
を使って書くと
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0, (3.9)
である。
次に（同じカーテシアン座標で）こんどは 3 次元の運動方程式を考えよう。
v
i
= ˙x
i
を i 方向の速度とすると、運動エネルギーは
K =
3
j=1
m
2
˙x
j
˙x
j
(3.10)
である。ポテンシャル U が速度に依らない、つまり
U = U(x
1
, x
2
, x
3
) (3.11)
とすると、この系のラグランジアンは
L(x
1
, x
2
, x
3
, ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) = K( ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) −U(x
1
, x
2
, x
3
) (3.12)
である。
ニュートンの運動方程式は、
d
dt
(m ˙x
i
) +
∂U
∂x
i
= 0, (i = 1, 2, 3), (3.13)
である。
運動エネルギー K［式 (3.10)］を ( ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) の関数とみて、˙x
i
で偏微分する
と、i 方向の運動量
∂K
∂ ˙x
i
= m ˙x
i
(3.14)
を得る。そこで、式 (3.14) を (3.13) に代入すると、ニュートンの運動方程式は
d
dt
∂K
∂ ˙x
i
+
∂U
∂x
i
= 0, (i = 1, 2, 3) (3.15)
と書ける。
式 (3.6) と (3.7) から、ニュートンの運動方程式 (3.15) は、ラグランジアン
(3.12) を使って
d
dt
∂L
∂ ˙x
i
−
∂L
∂x
i
= 0, (3.16)
と書ける。
数値計算のための解析力学 34
3.2 ラグランジュの運動方程式
3.2 ラグランジュの運動方程式
式 (3.9) は (3.16) は、それぞれ 1 次元と 3 次元の（カーテシアン座標の下で
の）ニュートンの運動方程式をラグランジアンを使って書きなおしたものである。
次元が違ってもこの二つの式は同じ形をしていることに注目しよう。
実は、運動方程式をラグランジアンを使ってこの形に書くと、系の自由度の
数や座標系の取り方に関係なく—つまり一般化座標の下で—いつでも同じ形の運
動方程式になる
∗
。これをラグランジュの運動方程式という。
つまり、自由度が N の系で、一般化座標を (q
1
, q
2
, . . . , q
N
)、ラグランジアンを
L
(
q
1
, q
2
, . . . , q
N
,
˙
q
1
,
˙
q
2
, . . . ,
˙
q
N
)
とすると、ラグランジュの運動方程式は
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0 (i = 1, 2, . . . , N ) (3.17)
である。
特に、自由度が 1 の場合、ラグランジアンは
L(q, ˙q)
で、ラグランジュの運動方程式は
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= 0 (3.18)
である。
なぜこれが正しい運動方程式になるのか？という疑問はしばらく抑えて、今
は具体的な例を通じてこの方程式に慣れていこう。
∗
それがなぜかは後ほど説明する
数値計算のための解析力学 35
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
3.3 ラグランジュの運動方程式の簡単な例
m
q
g
質点の投げ上げ 一般化座標を鉛直上向きの位置 q としたときのラグランジアン
は、(2.4) であった。再掲すると、
L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
− mgq. (3.19)
ラグランジュの運動方程式を立ててみよう。まず
∂L
∂ ˙q
= m ˙q
を計算する。次に
d
dt
∂L
∂ ˙q
=
d
dt
(m ˙q) = m¨q
に計算する。そして
∂L
∂q
= −mg
を計算する。これをラグランジュの運動方程式に代入すると
{m¨q} − {−mg} = 0
これがこの系のラグランジュの運動方程式である。
これを書き換えて
m¨q = −mg
とするとニュートンの運動方程式と同じである。
数値計算のための解析力学 36
3.3 ラグランジュの運動方程式の簡単な例
x m
k
直線上の線形バネ（調和振動子） p. 25で考えた問題である。一般化座標を q と
すると、1 次元調和振動子系のラグランジアンは、
L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
−
k
2
q
2
(3.20)
であった。これからラグランジュの運動方程式を作ってみよう。まずは
∂L
∂ ˙q
= m ˙q
次に
d
dt
∂L
∂ ˙q
=
d
dt
(m ˙q) = m¨q
も簡単である。そして、
∂L
∂q
= −kq
だから、ラグランジュの運動方程式は
{m¨q} − {−kq} = 0 (3.21)
である。k/m = ω
2
とすると
¨q + ω
2
q = 0 (3.22)
とな。この微分方程式の解は式 (1.2) であった。
数値計算のための解析力学 37
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
復習：合成関数の微分 このあとの計算では合成関数の微分がたくさん出て
くる。毎年この計算でつまずく学生が多いようなので、ここで念のために復
習しておこう。
f が g の関数で、その g が t の関数、つまり f が t の合成関数
f = f(g(t)) (3.23)
のとき、f の t 微分は
df
dt
=
df
dg
dg
dt
=
df
dg
˙g (3.24)
である。
f が q
1
, q
2
, . . . , q
N
の関数
f = f(q
1
, q
2
, . . . , q
N
)
で、（N 個ある）q
i
がそれぞれ時間 t の関数
q
i
= q
i
(t) (i = 1, . . . , N )
であるとき、
df
dt
=
N
j=1
∂f
∂q
j
dq
j
dt
=
N
j=1
∂f
∂q
j
˙q
j
である。
直線に拘束された質点 前の章（p. 29）で考えた問題である。x-y 平面上に y = ℓ
0
m
y
x
k
x
x
の直線がある。質量 m の質点がこの直線上を滑らかに（摩擦なしで）動く。バネ
定数 k で、自然長がちょうど ℓ
0
のバネがあり、その一端は原点に、もう一端は質
点に固定されている。一般化座標として、質点の x 座標を使うと、この系のラグ
数値計算のための解析力学 38
3.3 ラグランジュの運動方程式の簡単な例
ランジアン L(x, ˙x) は式 (2.9) であった。再掲すると、
L(x, ˙x) = K − U =
m
2
˙x
2
−
k
2
x
2
+ ℓ
2
0
− ℓ
0
2
(3.25)
ラグランジュの運動方程式を作ってみよう。まずは
∂L
∂ ˙x
= m ˙x
次に
d
dt
∂L
∂ ˙x
=
d
dt
(m ˙x) = m¨x
次は、式が少しだけ長くなるが、計算は単純である。合成関数の微分法［式 (3.23)］
より、
∂L
∂x
= −k
x
2
+ ℓ
2
0
− ℓ
0
x
x
2
+ ℓ
2
0
= −kx
1 −
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
従って、ラグランジュの運動方程式は
{m¨x} −
−kx
1 −
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
= 0,
つまり
m¨x + kx
1 −
ℓ
0
ℓ
2
0
+ x
2
= 0
これはニュートン力学の方法で導いた運動方程式 (1.8) と同じである。
ニュートンの方法では力の分解のために図を見ながら幾何学的に注意して導
出したこの方程式が、ラグランジュの運動方程式では機械的な計算で求めること
ができたことに注目しよう。
数値計算のための解析力学 39
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
3.4 演習
3.4.1 直線上を滑る質点＝バネ系
y
x
1
s
(x, x+1)
x
x
問題 これは先週のレポート問題である。ここではラグランジアンだけでなく、
運動方程式も求めよう。
x-y 平面上の直線 y = x + 1 がある。質量 m の質点がこの直線上を滑らかに
（摩擦なしで）動く。バネ定数 k で、自然長 ℓ
0
がゼロ（ℓ
0
= 0）のバネがあり、そ
の一端は原点に、もう一端は質点に固定されている。直線と y 軸との交点からの
（符号付きの）距離を s を質点の一般化座標とする。
(a) この系のラグランジアン L(s, ˙s) を書け。
(b) ラグランジュの運動方程式を書け。
解答 (a) 運動エネルギーは
K =
m
2
˙s
2
バネの長さを ℓ とすると、ポテンシャルは
U =
k
2
ℓ
2
である。ℓ
2
を一般化座標 s を使って書こう。図から明らかに
s =
√
2 x
である。これは符号も含めて成り立つ関係である。質点のカーテシアン座標を
(x, y) = (x, x + 1) とすると、図から
ℓ
2
= x
2
+ y
2
= x
2
+ (x + 1)
2
= 2x
2
+ 2x + 1 = s
2
+
√
2s + 1
数値計算のための解析力学 40
3.4 演習
なので、結局、ラグランジアンは
L(s, ˙s) = K − U =
m
2
˙s
2
−
k
2
s
2
+
√
2s + 1
である。定数部分を除いて
L(s, ˙s) = K − U =
m
2
˙s
2
−
k
2
s
s +
√
2
等としてもよい。
(b)
∂L
∂ ˙s
= m ˙s
なので、
d
dt
∂L
∂ ˙s
= m¨s
である。次に
∂L
∂s
= −k
s +
1
√
2
なのでラグランジュの運動方程式は
{m¨s} −
−k
s +
1
√
2
= 0,
つまり
¨s +
k
m
s +
1
√
2
= 0.
が答えである。
なお、この運動方程式は
˜s = s +
1
√
2
という新しい一般化座標を定義すると
¨
˜s +
k
m
˜s = 0
となる。この解は
˜s = c
1
cos (ωt + c
2
)
で、c
1
と c
2
は積分定数、ω =
k/m である。これは、同じばね定数 k をもつバ
ネの一端を（原点ではなく）この直線上の点 (x, y) = (−1/2, 1/2) につなげたと
きの運動と同じであることを意味する。
なお、このラグランジュの運動方程式を 4 次ルンゲ=クッタ法で解くプログラ
ム partilce_on_slanted_line.pde を講義の web page においた。
数値計算のための解析力学 41
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
左の図は実空間（x–y 平面）上での質点の動きを示したもの、右の図は、一般
化座標 s とその時間微分 ˙s がつくる空間（相空間と呼ばれる）上での系の状態の
変化をアニメーションで示したものである。
3.4.2 滑りながら倒れる棒
!
"
m
g
φ
問題 長さ 2 の重さのない棒の中心に固着した質量 m の質点がある。鉛直下方
の一様重力（重力定数 g）の下、この棒を壁に (斜めに）立て掛けた。床面に沿っ
て x 軸、壁面に沿って y 軸をとる。棒の両端はそれぞれ壁面と床面から離れない
数値計算のための解析力学 42
3.4 演習
ように（摩擦なしで）滑りながらこの棒が倒れる途中の運動を考える。棒と壁の
なす角度 ϕ を一般化座標とする。
(a) ラグランジアン L(ϕ,
˙
ϕ) を求めよ。
(b) ϕ(t) の運動方程式を書け。
(c) |ϕ| ≪ 1 のときの解を書け。
解答
(a) 質点の位置を (x, y) とすると
(x, y) = (sin ϕ, cos ϕ)
速度は
( ˙x, ˙y) = (cos ϕ
˙
ϕ, −sin ϕ
˙
ϕ)
である。棒は質量を持たないので、この系の運動エネルギー K は、質点だ
けが持っている。従って、
K =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
) =
m
2
˙
ϕ
2
同様に棒はポテンシャルを持たないので、系のポテンシャル U は、質点の
重力ポテンシャル
U = mgy = mg cos ϕ
である。従ってラグランジアンは
L(ϕ,
˙
ϕ) =
m
2
˙
ϕ
2
− mg cos ϕ
である。
(b)
∂L
∂
˙
ϕ
= m
˙
ϕ
d
dt
∂L
∂
˙
ϕ
= m
¨
ϕ
∂L
∂ϕ
= mg sin ϕ
これらをラグランジュの運動方程式
d
dt
∂L
∂
˙
ϕ
−
∂L
∂ϕ
= 0
に代入すると、
m
¨
ϕ
− {mg sin ϕ} = 0
整理すると
¨
ϕ −g sin ϕ = 0
これが ϕ の運動方程式である。
数値計算のための解析力学 43
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
(c) |ϕ| ≪ 1 の時、sin ϕ ∼ ϕ より、運動方程式は
¨
ϕ = gϕ
となる。この微分方程式の一般解は
ϕ(t) = c
1
e
√
g t
+ c
2
e
−
√
g t
である。
3.4.3 円上の質点＝バネ系
x
y
z
(1,0,1)
θ
問題 質量 m の質点が、原点を中心とする半径 1 の円（x
2
+ y
2
= 1）の上を滑
る。この質点が、点 (x, y, z) = (1, 0, 1) とバネでつながれているときの運動を求
める。重力と摩擦は無視する。バネ定数は k、自然長は 0 とする。
(a) x 軸となす角度 θ を一般化座標とする。たとえば θ = 0 のときの質点
の位置は、カーテシアン座標で (x, y) = (1, 0). θ = π/2 のときは
(x, y) = (0, 1) である。この系のラグランジアン L(θ,
˙
θ) を求めよ。
(b) ラグランジュの運動方程式を書け。
(c) |θ| ≪ 1 の時の解を求めよ。
解答
(a) 運動エネルギーは
K =
m
2
˙
θ
2
質点の座標は (x, y, z) = (cos θ, sin θ, 0) なので、バネの長さを ℓ とすると
ℓ
2
= (cos θ − 1)
2
+ sin
2
θ + 1 = 3 −2 cos θ
だからポテンシャルエネルギーは
U =
k
2
ℓ
2
=
k
2
(3 −2 cos θ)
数値計算のための解析力学 44
3.4 演習
従ってラグランジアンは
L(θ,
˙
θ) =
m
2
˙
θ
2
−
k
2
(3 −2 cos θ)
(b) 上のラグランジアンを偏微分して、
∂L
∂
˙
θ
= m
˙
θ
だから
d
dt
∂L
∂
˙
θ
= m
¨
θ
また、
∂L
∂θ
= −k sin θ
従ってラグランジュの運動方程式は、
m
¨
θ
− {−k sin θ} = 0
つまり
m
¨
θ + k sin θ = 0
である。あるいは
ω
2
:=
k
m
とすると
¨
θ + ω
2
sin θ = 0
が運動方程式である。
(c) |θ| ≪ 1 のとき sin θ ∼ θ だから、運動方程式は
¨
θ = −ω
2
θ
である。この微分方程式の解は
θ(t) = c
1
cos (ωt) + c
2
sin (ωt)
ここで c
1
と c
2
は定数である。あるいは
θ(t) = c
1
cos (ωt + c
2
)
など。
数値計算のための解析力学 45
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
3.4.4 バネ＝質点 2 自由度系
β
1
q
q
2
問題 原点で角度 β をもって交差する直線 1 と直線 2 がある。質量 m をもつ質
点 1 が直線 1 の上を、同じ質量 m をもつ質点 2 が直線 2 の上を摩擦なしに滑る。
質点 1 と質点 2 の間をバネ（ばね定数 k、自然長 0）がつないでいる。質点 1 の
（直線 1 上の）座標を q
1
、質点 2 の（直線上 2 上の）座標を q
2
として、
(a) ラグランジアン L(q
1
, q
2
, ˙q
1
, ˙q
2
) を書け。
(b) ラグランジュの運動方程式を書け。
(c) その運動方程式を解け。
解
(a) この系の運動エネルギー K は二つの質点がもつ運動エネルギーの和なので
K =
m
2
˙q
2
1
+ ˙q
2
2
(3.26)
である。系のポテンシャル U はバネのポテンシャルだから
U =
k
2
ℓ
2
(3.27)
である。余弦定理より
ℓ
2
= q
2
1
+ q
2
2
− 2q
1
q
2
cos β (3.28)
である。従ってラグランジアンは
L(q
1
, q
2
, ˙q
1
, ˙q
2
) =
m
2
˙q
2
1
+ ˙q
2
2
−
k
2
q
2
1
+ q
2
2
− 2q
1
q
2
cos β
(3.29)
である。
数値計算のための解析力学 46
3.4 演習
(b) 例によっていつもの手続きに従って、
∂L
∂ ˙q
i
= m ˙q
i
(i=1,2) (3.30)
を計算して、次に
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
= m¨q
i
(i = 1, 2) (3.31)
を計算する。次は q
1
と q
2
とで少し形が違うのでそれぞれ計算しよう。
∂L
∂q
1
= −k (q
1
− q
2
cos β) (3.32)
∂L
∂q
2
= −k (q
2
− q
1
cos β) (3.33)
従って運動方程式は、
{m¨q
1
} −{−k (q
1
− q
2
cos β)} = 0 (3.34)
と
{m¨q
2
} −{−k (q
2
− q
1
cos β)} = 0 (3.35)
である。ω
2
= k/m を定義すると、
¨q
1
+ ω
2
(q
1
− q
2
cos β) = 0 (3.36)
¨q
2
+ ω
2
(q
2
− q
1
cos β) = 0 (3.37)
と書ける。
(c) 二つの変数
s
p
=
q
1
+ q
2
2
(3.38)
s
m
=
q
1
− q
2
2
(3.39)
と定義すると、式 (3.36) と (3.37) の和と差から
¨s
p
+ ω
2
m
s
p
= 0 (3.40)
¨s
m
+ ω
2
p
s
m
= 0 (3.41)
を得る。ここで
ω
p
=
ω
1 + cos
β
(3.42)
ω
m
= ω
1 −cos β (3.43)
はそれぞれ定数である。式 (3.40) と (3.41) はすぐに解けて
数値計算のための解析力学 47
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
s
p
= c
1
cos (ω
m
t + c
2
) (3.44)
s
m
= c
3
cos (ω
p
t + c
4
) (3.45)
である。積分定数を c
1
, c
2
, c
3
, c
4
とした。式 (3.38) と (3.39) を使って元の
変数 q
1
と q
2
に戻せば、
q
1
(t) = s
p
+ s
m
= c
1
cos (ω
m
t + c
2
) + c
3
cos (ω
p
t + c
4
) (3.46)
q
2
(t) = s
p
− s
m
= c
1
cos (ω
m
t + c
2
) −c
3
cos (ω
p
t + c
4
) (3.47)
が解である。
3.4.5
ころがる円についたおもり
θ
θ
問題 半径 1 の円がある。この円が x-y 平面内で x 軸の上を転がっていく。（重
さのない自転車の車輪のようなものを考えればよい。）円が転がるときの摩擦はな
く、「スリップ」もしないものとする。また、円は x 軸から離れる（ジャンプす
る）こともないものとする。以下、重力（重力加速度 g）は −y 方向で、y = 0 が
地面の高さとする。
この円上のある点に固着した質量 m の質点がある。（自転車の車輪（チューブ
内）に重りがついていると想像せよ。）初期時刻 t = 0 に質点は地面 (y = 0) と接
触していた。このときの x 座標を原点 x = 0 とし、円の中心と質点を結ぶ直線が
−y 方向となす角度を θ とする。
(a) 円の中心の x 座標を θ で書け。
(b) 質点の x, y 座標を θ で書け。
(c) 系の運動エネルギー K(θ,
˙
θ) を書け。
(d) この系のラグランジアン L(θ,
˙
θ) を書け。
(e) ラグランジュの運動方程式を書け。
数値計算のための解析力学 48
3.4 演習
解答
(a) 円が回転した時にできる円弧の長さだけ円の中心は x 方向に動くから
x = θ
(b) 図から
x = θ − sin θ
y = 1 − cos θ
(c) 上の x と y の式を t で微分すると
˙x =
dx
dt
=
dx
dθ
dθ
dt
= (1 −cos θ)
˙
θ
˙y =
dy
dt
=
dy
dθ
dθ
dt
= sin θ
˙
θ
これから運動エネルギーは
K(θ,
˙
θ) =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
)
=
m
2
(1 −cos θ)
2
+ sin
2
θ
˙
θ
2
= m(1 −cos θ)
˙
θ
2
(d) 地面の高さを U = 0 の基準にとれば、ポテンシャルは U = mgy だから、ラ
グランジアン L = K − U は
L(θ,
˙
θ) = m(1 −cos θ)
˙
θ
2
− mg(1 − cos θ)
つまり
L(θ,
˙
θ) = m (1 − cos θ)
˙
θ
2
− g
である。
(e) 上のラグランジアンを偏微分して、
∂L
∂
˙
θ
= 2m(1 −cos θ)
˙
θ
だから
d
dt
∂L
∂
˙
θ
=
d
dt
2m(1 −cos θ)
˙
θ
= 2m(1 −cos θ)
¨
θ + 2m sin θ
˙
θ
2
また、
∂L
∂θ
= m sin θ
˙
θ
2
− g
数値計算のための解析力学 49
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
従ってラグランジュの運動方程式は、
2m (1 −cos θ)
¨
θ + 2m sin θ
˙
θ
2
−
m sin θ
˙
θ
2
− g
= 0
つまり
2m(1 −cos θ)
¨
θ + m sin θ
˙
θ
2
+ mg sin θ = 0
である。あるいは両辺を m で割って
2(1 −cos θ)
¨
θ + sin θ
˙
θ
2
+ g sin θ = 0
や
2
1 −cos θ
sin θ
¨
θ +
˙
θ
2
+ g = 0
など。
3.4.6 2 次元調和振動子
m
φ
(r, φ)
(r, rφ)
r
バネ定数 k、自然長 ℓ
0
= 0 の線形バネが、一方の端は質量 m の質点に、他端
は原点に固定されている。この系のラグランジアンは、以前（第 2.3.3章、p. 25）、
カーテシアン座標を一般化座標として考えた。
問題
(a) 質点の位置の極座標 (r, ϕ) を一般化座標としてラグランジアン L(r, ϕ, ˙r,
˙
ϕ)
を導出せよ。
(b) 運動方程式を導出せよ。
数値計算のための解析力学 50
3.4 演習
解
(a) ポテンシャルエネルギーは極座標で書けば
U =
k
2
r
2
(3.48)
と簡単である。
質点の位置のカーテシアン座標表示 (x
1
, x
2
) と極座標表示 (r, φ) の間には
x
1
= r cos ϕ (3.49)
x
2
= r sin ϕ (3.50)
という関係がある。速度を極座標で書くと、
v
r
= ˙r (3.51)
v
ϕ
= r
˙
ϕ (3.52)
なので、運動エネルギーは
K =
m
2
v
2
r
+ v
2
ϕ
=
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
ϕ
2
) (3.53)
である。式 (3.51) と (3.52) がすぐには分からなければ、以下のように丁寧
に計算してもよい。式
(3.49)
と
(3.50)
を時間で微分して
v
x
= v
1
= ˙x
1
=
d
dt
(r cos ϕ) = ˙r cos ϕ − r
˙
ϕ sin ϕ (3.54)
v
y
= v
2
= ˙x
2
=
d
dt
(r sin ϕ) = ˙r sin ϕ + r
˙
ϕ cos ϕ (3.55)
なので、
v
2
= v
2
1
+v
2
2
= ( ˙r cos ϕ−r
˙
ϕ sin ϕ)
2
+( ˙r sin ϕ+r
˙
ϕ cos ϕ)
2
= ˙r
2
+r
2
˙
ϕ
2
(3.56)
から運動エネルギー (3.53) を得る。ラグランジアンは運動エネルギーとポ
テンシャルを引いて
L(r, ϕ, ˙r,
˙
ϕ) = K − U =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
ϕ
2
) −
k
2
r
2
(3.57)
である。
(b) ラグランジアン (3.57) から運動方程式を求めよう。まずは r 成分から。
∂L
∂ ˙r
= m ˙r
d
dt
∂L
∂ ˙r
= m¨r
数値計算のための解析力学 51
第 3 章 ラグランジュの運動方程式
∂L
∂r
= mr
˙
ϕ
2
− kr
だから運動方程式の r 成分は
{m¨r}−
mr
˙
ϕ
2
− kr
= 0
つまり
m¨r − mr
˙
ϕ
2
+ kr = 0
である。第 2 項は遠心力である。次に ϕ 成分：
∂L
∂
˙
ϕ
= mr
2
˙
ϕ
d
dt
∂L
∂
˙
ϕ
=
d
dt
mr
2
˙
ϕ
右辺はこれ以上展開しないで次のステップにいこう。L が ϕ には直接依存
していないので、次の項はゼロになる。
∂L
∂ϕ
= 0
結局、運動方程式の ϕ 成分は、
d
dt
mr
2
˙
ϕ
− {0} = 0
つまり
d
dt
mr
2
˙
ϕ
= 0
と簡単になる。これは
mr
2
˙
ϕ = const.
を意味する。後で述べるが、これは角運動量の保存則を意味する。
数値計算のための解析力学 52
Chapter 4
剛体の運動方程式
剛体とは、堅い物体を理想化したものである。堅いので変形はしない。弾性
的な変形さえ考えないので、剛体はたたいても音が出ないであろう。剛体の運動
を記述する運動方程式の一つはオイラー方程式と呼ばれる。オイラー方程式は角
運動量の保存則を使うなどして「賢く」導出することができるが、（これまで何度
も強調したように）なにか一般化座標を決めてラグランジアンを求めれば、あと
は機械的な計算で運動方程式を得ることができるというのが解析力学のありがた
さであり、これは剛体運動の場合も例外ではない。そこでここではオイラー角と
よばれるものを一般化座標としたラグランジアンから愚直にオイラー方程式を導
出する。この方法は、途中の計算がかなり煩雑になるものの、角速度の存在や、
オイラー角と角速度の関係、トルクなどが自動的に導かれる。
4.1 オイラー角
はじめに 3 次元空間中を運動する剛体の自由度を考える。重心の位置を指定
するのに 3 の自由度が必要で、あとは重心の周りに剛体を回転させる自由度であ
る。硬直状態で立っている死体を北枕にして寝かせるためには、
1. 死体を床に横たえて（背筋を水平にする）
2. 仰向けにして（顔を上に向ける）
3. 北向きに寝かせる（北枕にする）
必要がある。つまり剛体の回転の自由度は 3 である。
剛体の向きを指定するのに次に述べる（zxz 型と呼ばれる）オイラー角をとる。
53
第 4 章 剛体の運動方程式
まず、z 軸の周りに φ 回転する。次に新しい x 軸の周りに θ 回転する。その
回転で移動した z 軸の周りに ψ 回転する。
R
1
(φ) =
cos φ sin φ 0
−sin φ cos φ 0
0 0 1
(4.1)
R
2
(θ) =
1 0 0
0 cos θ sin θ
0 −sin θ cos θ
(4.2)
R
3
(ψ) =
cos ψ sin ψ 0
−sin ψ cos ψ 0
0 0 1
(4.3)
として、
R(φ, θ, ψ) = R
3
(ψ)R
2
(θ)R
1
(φ) (4.4)
=
cos ψ cos φ − cos θ sin ψ sin φ cos θ sin ψ cos φ + cos ψ sin φ sin θ sin ψ
−cos θ cos ψ sin φ − sin ψ cos φ cos θ cos ψ cos φ − sin ψ sin φ sin θ cos ψ
sin θ sin φ −sin θ cos φ cos θ
(4.5)
という行列を定義すると、座標系の基底ベクトルはこの回転で
e
′
x
e
′
y
e
′
z
= R
e
x
e
y
e
z
(4.6)
と変換される。なお、R は直交行列で、
R
t
R = RR
t
= I (4.7)
である。
数値計算のための解析力学 54
4.2 静止系での角速度
任意のベクトル a をとる。回転後の基底系で a を測ると、
a =
a
′
x
a
′
y
a
′
z
e
′
x
e
′
y
e
′
z
(4.8)
式 (4.6) より
a =
a
′
x
a
′
y
a
′
z
R
e
x
e
y
e
z
(4.9)
元の座標系で a を測ると、
a = (a
x
a
y
a
z
)
e
x
e
y
e
z
(4.10)
なので、ベクトルの成分の変換則は
(a
x
a
y
a
z
) =
a
′
x
a
′
y
a
′
z
R (4.11)
である。これは
a
′
x
a
′
y
a
′
z
= (a
x
a
y
a
z
) R
t
(4.12)
あるいは
a
′
x
a
′
y
a
′
z
= R
a
x
a
y
a
z
(4.13)
とも書ける。
4.2 静止系での角速度
二つの座標系 G と G
′
を考える。G は静止系である。その原点を剛体の重心
にとる。G
′
は剛体に固定された座標系とする。G
′
系の基底ベクトルは、時間に
依存する回転 R(φ(t), θ(t), ψ(t)) で回転変換される。剛体に固定された点 x は G
系で見れば動いているが、回転座標系 G
′
からみれば止まっている。つまり、
x(t) = (x(t) y(t) z(t))
e
x
e
y
e
z
(4.14)
= (x
′
y
′
z
′
)
e
′
x
(t)
e
′
y
(t)
e
′
z
(t)
(4.15)
数値計算のための解析力学 55
第 4 章 剛体の運動方程式
この点の速度ベクトルを v とすると、式 (4.15) を時間微分して、
v(t) =
˙
x(t) (4.16)
= (x
′
y
′
z
′
)
˙
e
′
x
(t)
˙
e
′
y
(t)
˙
e
′
z
(t)
(4.17)
= (x
′
y
′
z
′
)
˙
R(t)
e
x
e
y
e
z
(4.18)
= (x y z) R
t
(t)
˙
R(t)
e
x
e
y
e
z
(4.19)
速度ベクトル v を静止系 G で測れば、
v = (v
x
v
y
v
z
)
e
x
e
y
e
z
(4.20)
なので、式 (4.19) と (4.20) より
(v
x
v
y
v
z
) = (x y z) Ω (4.21)
である。ここで、
Ω = R
t
˙
R (4.22)
は反対称行列（従って対角項がゼロ）である。なぜなら、
Ω = R
t
˙
R = R
t
∂R
∂φ
˙φ +
∂R
∂θ
˙
θ +
∂R
∂ψ
˙
ψ
= R
t
∂R
∂φ
˙φ + R
t
∂R
∂θ
˙
θ + R
t
∂R
∂ψ
˙
ψ (4.23)
に注意し、
R
t
R = I (4.24)
を φ で微分して
R
t
∂R
∂φ
+
∂R
t
∂φ
R = 0 (4.25)
つまり
R
t
∂R
∂φ
+
R
t
∂R
∂φ
t
= 0 (4.26)
これは R
t
(∂R/∂φ) が反対称行列であることを意味する。同様に R
t
(∂R/∂θ) と
R
t
(∂R/∂ψ) も反対称行列なので、式 (4.23) から Ω は反対称行列である。
Ω を具体的に求めよう。まず、
˙
R =
˙
R
11
˙
R
12
˙
R
13
˙
R
21
˙
R
22
˙
R
23
˙
R
31
˙
R
32
˙
R
33
=
∂R
∂φ
˙φ +
∂R
∂θ
˙
θ +
∂R
∂ψ
˙
ψ (4.27)
数値計算のための解析力学 56
4.2 静止系での角速度
を計算すると、
˙
R
11
=
˙
θ sin θ sin ψ sin φ − ˙φ(cos θ sin ψ cos φ + cos ψ sin φ) −
˙
ψ(cos θ cos ψ sin φ + sin ψ cos φ)
(4.28)
˙
R
12
= −
˙
θ sin θ sin ψ cos φ + ˙φ(cos ψ cos φ − cos θ sin ψ sin φ) +
˙
ψ(cos θ cos ψ cos φ − sin ψ sin φ)
(4.29)
˙
R
13
=
˙
θ cos θ sin ψ +
˙
ψ sin θ cos ψ (4.30)
˙
R
21
=
˙
θ sin θ cos ψ sin φ + ˙φ(sin ψ sin φ − cos θ cos ψ cos φ) +
˙
ψ(cos θ sin ψ sin φ − cos ψ cos φ)
(4.31)
˙
R
22
= −
˙
θ sin θ cos ψ cos φ − ˙φ(cos θ cos ψ sin φ + sin ψ cos φ) −
˙
ψ(cos θ sin ψ cos φ + cos ψ sin φ)
(4.32)
˙
R
23
=
˙
θ cos θ cos ψ −
˙
ψ sin θ sin ψ (4.33)
˙
R
31
=
˙
θ cos θ sin φ + ˙φ sin θ cos φ (4.34)
˙
R
32
= ˙φ sin θ sin φ −
˙
θ cos θ cos φ (4.35)
˙
R
33
= −
˙
θ sin θ (4.36)
である。これに R
t
を左からかけて、
Ω =
0
˙
ψ cos θ + ˙φ −
˙
θ sin φ +
˙
ψ sin θ cos φ
−
˙
ψ cos θ − ˙φ 0
˙
θ cos φ +
˙
ψ sin θ sin φ
˙
θ sin φ −
˙
ψ sin θ cos φ −
˙
θ cos φ −
˙
ψ sin θ sin φ 0
(4.37)
を得る。予想通り反対称行列になった。ここで
ω
x
=
˙
θ cos φ +
˙
ψ sin θ sin φ (4.38)
ω
y
=
˙
θ sin φ −
˙
ψ sin θ cos φ (4.39)
ω
z
=
˙
ψ cos θ + ˙φ (4.40)
を定義する。この成分は静止系 G で測ったものであることに注意。
Ω =
˙
RR
t
=
0 ω
z
−ω
y
−ω
z
0 ω
x
ω
y
−ω
x
0
(4.41)
と書ける。式 (4.21) に代入すると、
v
x
= ω
y
z − ω
z
x (4.42)
v
y
= ω
z
x −ω
x
y (4.43)
v
z
= ω
x
y − ω
y
z (4.44)
この三つの式を外積記号を使ってまとめて書けば、
v = ω × x (4.45)
数値計算のための解析力学 57
第 4 章 剛体の運動方程式
とも書ける。この ω は角速度と呼ばれる。
ある剛体が N 個の質点で構成されているとする。i 番目の質点の位置と速度
を x
i
と v
i
とすると、式 (4.42)–(4.44) より、
v
ix
(t) = ω
y
(t)z
i
(t) −ω
z
(t)x
i
(t) (4.46)
v
iy
(t) = ω
z
(t)x
i
(t) −ω
x
(t)y
i
(t) (4.47)
v
iz
(t) = ω
x
(t)y
i
(t) −ω
y
(t)z
i
(t) (4.48)
これからラグランジアンを作ってもよいが、そうするとラグランジュの運動方程
式で時間微分をとるときに、x
i
(t) の時間依存性が出てきて計算が面倒になるの
で、剛体と共に回転する系 G
′
で質点の位置を測ることにする。そうすると x の
成分は時間に依存しない。
4.3 回転系での角速度
式
(4.7)
と式
(4.18)
より、
v = (x
′
y
′
z
′
)
˙
RR
t
R
e
x
e
y
e
z
(4.49)
= (x
′
y
′
z
′
)
˙
RR
t
e
′
x
e
′
y
e
′
z
(4.50)
速度ベクトル v を G
′
系で測れば、
v =
v
′
x
v
′
y
v
′
z
e
′
x
e
′
y
e
′
z
(4.51)
なので、式 (4.50) と (4.51) より
v
′
x
v
′
y
v
′
z
= (x
′
y
′
z
′
) Λ (4.52)
ここで
Λ =
˙
RR
t
(4.53)
である。具体的に計算すると、
Λ =
0 ˙φ cos θ +
˙
ψ
˙
θ sin ψ − ˙φ sin θ cos ψ
− ˙φ cos θ −
˙
ψ 0
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ
−
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ −
˙
θ cos ψ − ˙φ sin θ sin ψ 0
(4.54)
=
0 ω
′
z
−ω
′
y
−ω
′
z
0 ω
′
x
ω
′
y
−ω
′
x
0
(4.55)
数値計算のための解析力学 58
4.3 回転系での角速度
ここで、
ω
′
x
=
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ (4.56)
ω
′
y
= −
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ (4.57)
ω
′
z
= ˙φ cos θ +
˙
ψ (4.58)
ちなみにこれを (φ, θ, ψ) について解くと、
˙φ = csc θ(ω
′
x
sin ψ + ω
′
y
cos ψ) (4.59)
˙
θ = ω
′
x
cos ψ − ω
′
y
sin ψ (4.60)
˙
ψ = ω
′
z
− cot θ(ω
′
x
sin ψ + ω
′
y
cos ψ) (4.61)
この関係は後で使う。式 (4.56)–(4.58) を式 (4.52) に代入すると、
v
′
x
= ω
′
y
z
′
− ω
′
z
x
′
(4.62)
v
′
y
= ω
′
z
x
′
− ω
′
x
y
′
(4.63)
v
′
z
= ω
′
x
y
′
− ω
′
y
z
′
(4.64)
なお、角速度の G 系での成分 (4.38)–(4.40) と、G
′
系での成分 (4.62)–(4.64)
を比較すると、
ω
′
x
ω
′
y
ω
′
z
= R
ω
x
ω
y
ω
z
(4.65)
が成り立っていることが確認できる。つまり ω の成分はベクトルの成分と同じ変
換則 (4.13) で変換することがわかる。角速度は擬ベクトルである。
式 (4.62)–式 (4.64) を書き直すと
v
′
x
v
′
y
v
′
z
=
(−
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ)z
′
− ( ˙φ cos θ +
˙
ψ)y
′
( ˙φ cos θ +
˙
ψ)x
′
− (
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ)z
′
(
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ)y
′
− (−
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ)x
′
= Q
˙φ
˙
θ
˙
ψ
(4.66)
ここで
Q =
z
′
sin θ cos ψ − y
′
cos θ −z
′
sin ψ −y
′
x
′
cos θ − z
′
sin θ sin ψ −z
′
cos ψ x
′
y
′
sin θ sin ψ − x
′
sin θ cos ψ x
′
sin ψ + y
′
cos ψ 0
(4.67)
である。このことは、オイラー角 (φ, θ, ψ) の微小な差 (δφ, δθ, δψ) と回転系の座
標 (x
′
, y
′
, z
′
) の微小な差 (δx
′
, δy
′
, δz
′
) の関係が次であることを意味する。
δx
′
δy
′
δz
′
= Q
δφ
δθ
δψ
(4.68)
数値計算のための解析力学 59
第 4 章 剛体の運動方程式
数字の添え字を使い、(x
′
, y
′
, z
′
) と (φ, θ, ψ) をそれぞれ (x
′
1
, x
′
2
, x
′
3
) と (ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
)
と書くことにすると、式 (4.68) は、
δx
′
α
=
3
β=1
Q
αβ
δϕ
β
(4.69)
を意味する。つまり
∂x
′
α
∂ϕ
β
= Q
αβ
(4.70)
である。
4.4 簡潔な計算方法
計算が少々ややこしかったので、テンソル記法でここまでの要点をまとめる
∗
。
オイラー角 (φ, θ, ψ) の回転による任意のベクトル a = a
i
e
i
= a
′
i
e
i
の成分の変換
則は
a
′
i
= R
ij
a
j
(4.71)
a
i
= R
ji
a
′
j
(4.72)
ここで行列 R は式 (4.5) に示すように複雑な形をしており、その時間微分
˙
R はさ
らに複雑［式 (4.28)–(4.36)］であるが、その積は以下のような簡潔な関係がある。
R
ij
R
kj
= R
ji
R
jk
= δ
ik
（直交行列条件） (4.73)
a
′
k
˙
R
kj
R
ij
= ϵ
ijk
ω
′
j
a
′
k
（式 (4.53) と (4.55)） (4.74)
ここで ω
′
j
は式 (4.56)–(4.58) で定義された角速度である。
時間依存するベクトル a(t) = a
i
(t)e
i
= a
′
i
(t)e
i
(t) の時間微分 b(t) =
˙
a(t) =
b
i
(t)e
i
= b
′
i
(t)e
′
i
(t) も当然ベクトルなので
b
i
e
i
= b =
˙
a = ˙a
′
i
e
′
i
+ a
′
i
˙
e
′
i
(4.75)
= ˙a
′
i
e
′
i
+ a
′
i
˙
R
ij
e
j
(4.76)
=
˙a
′
j
R
ji
+ a
′
j
˙
R
ji
e
i
(4.77)
両辺を比較して
b
i
= ˙a
′
j
R
ji
+ a
′
j
˙
R
ji
(4.78)
= ˙a
′
j
R
ji
+ a
′
k
˙
R
kℓ
δ
ℓi
(4.79)
= ˙a
′
j
R
ji
+ a
′
k
˙
R
kℓ
R
jℓ
R
ji
［式 (4.73) より］ (4.80)
=
˙a
′
j
+ a
′
k
˙
R
kℓ
R
jℓ
R
ji
(4.81)
=
˙a
′
j
+ ϵ
jℓ
ω
′
ℓ
a
′
m
R
ji
［式 (4.74) より］ (4.82)
∗
この節だけ繰り返された添え字は和をとる規則を使う。
数値計算のための解析力学 60
4.5 ラグランジュの運動方程式
ベクトル b の変換則 (4.72) より
b
′
j
= ˙a
′
j
+ ϵ
jℓm
ω
′
ℓ
a
′
m
(4.83)
つまり
˙a
1
˙a
2
˙a
3
=
˙a
′
1
˙a
′
2
˙a
′
3
+
ω
′
1
ω
′
2
ω
3
×
a
′
1
a
′
2
a
′
3
(4.84)
この式の a = x という特別な場合が式 (4.62)–(4.64) である。
4.5 ラグランジュの運動方程式
4.5.1 運動エネルギー
N 個の質点で構成されている剛体の運動方程式を作るために、オイラー角
(φ, θ, ψ) を一般化座標としてラグランジアンを作る。（重心の運動は無視できる座
標系をとっているものとする。）質点 i の速度の G
′
系の成分は
v
′
ix
(t) = ω
′
y
(t)z
′
i
− ω
′
z
(t)x
′
i
(4.85)
v
′
iy
(t) = ω
′
z
(t)x
′
i
− ω
′
x
(t)y
′
i
(4.86)
v
′
iz
(t) = ω
′
x
(t)y
′
i
− ω
′
y
(t)z
′
i
(4.87)
である。エディントンのイプシロン記号を使うと、
v
′
α
=
3
β=1
3
γ=1
ϵ
αβγ
ω
′
β
x
′
γ
(4.88)
数値計算のための解析力学 61
第 4 章 剛体の運動方程式
ここで (v
′
x
, v
′
y
, v
′
z
) = (v
′
1
, v
′
2
, v
′
3
) 等とした。運動エネルギーは
K =
N
i=1
m
i
2
v
2
i
(4.89)
=
N
i=1
3
α=1
m
i
2
v
′2
iα
(4.90)
=
N
i=1
3
α=1
3
β=1
3
γ=1
3
β
′
=1
3
γ
′
=1
m
i
2
ϵ
αβγ
ϵ
αβ
′
γ
′
ω
′
β
x
′
iγ
ω
′
β
′
x
′
iγ
′
(4.91)
=
N
i=1
3
β=1
3
γ=1
3
β
′
=1
3
γ
′
=1
m
i
2
(δ
ββ
′
δ
γγ
′
− δ
βγ
′
δ
γβ
′
)ω
′
β
x
′
iγ
ω
′
β
′
x
′
iγ
′
(4.92)
=
N
i=1
3
β=1
3
γ=1
m
i
2
(ω
′
β
x
′
iγ
ω
′
β
x
′
iγ
− ω
′
β
x
′
iγ
ω
′
γ
x
′
iβ
) (4.93)
=
N
i=1
m
i
2
3
µ=1
(x
′
iµ
)
2
3
β=1
(ω
′
β
)
2
−
3
β=1
3
γ=1
ω
′
β
ω
′
γ
x
′
iβ
x
′
iγ
(4.94)
=
N
i=1
m
i
2
3
µ=1
(x
′
iµ
)
2
3
β=1
3
γ=1
ω
′
β
ω
′
γ
δ
β
γ −
3
β=1
3
γ=1
ω
′
β
ω
′
γ
x
′
iβ
x
′
iγ
(4.95)
=
1
2
3
β=1
3
γ=1
ω
′
β
ω
′
γ
N
i=1
m
i
3
µ=1
(x
′
iµ
)
2
δ
β
γ − x
′
iβ
x
′
iγ
(4.96)
=
1
2
3
β
=1
3
γ=1
ω
′
β
ω
′
γ
I
β
γ (4.97)
ここで
I
β
γ =
N
i=1
m
i
3
µ=1
(x
′
iµ
)
2
δ
β
γ − x
′
iβ
x
′
iγ
(4.98)
を定義した。行列で書くと
I =
N
i=1
m
i
y
′2
i
+ z
′2
i
−x
′
i
y
′
i
−x
′
i
z
′
i
−y
′
i
x
′
i
x
′2
i
+ z
′2
i
−y
′
i
z
′
i
−z
′
i
x
′
i
−z
′
i
y
′
i
x
′2
i
+ y
′2
i
(4.99)
この I は慣性テンソルと呼ばれる。この I は対称行列なので、非対角項がゼロに
なるように G
′
系での基底 e
′
x
, e
′
y
, e
′
z
をとることができる。すると、
I =
I
1
0 0
0 I
2
0
0 0 I
3
, I
βγ
= I
β
δ
βγ
(4.100)
数値計算のための解析力学 62
4.5 ラグランジュの運動方程式
I
1
, I
2
, I
3
は慣性モーメントと呼ばれる。慣性モーメントは時間に依存しないこと
に注意。結局、運動エネルギーは
K =
1
2
3
β=1
I
β
(ω
′
β
)
2
(4.101)
である。
4.5.2 ポテンシャル
以下では (φ, θ, ψ) = (ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
) とする。系のポテンシャル U は、剛体を構成
する各質点のポテンシャルの和である。U は質点の位置だけの関数とする。i 番
目の質点の位置を (x
′
i
, y
′
i
, z
′
i
) = (x
′
i;1
, x
′
i;2
, x
′
i;3
) と書く。すると、
∂U
∂ϕ
β
=
N
i=1
3
γ=1
∂U
∂x
i;γ
∂x
iγ
∂ϕ
β
(4.102)
=
N
i=1
3
γ=1
∂U
∂x
i
;
γ
Q
i;γβ
(4.103)
=
N
i=1
3
γ=1
Q
t
i;βγ
∂U
∂x
i;γ
(4.104)
式 (4.103) では式 (4.70) を使った。式 (4.104) の行列 Q
t
i
は Q
i
の転置である：
Q
t
i
=
z
′
i
sin θ cos ψ − y
′
i
cos θ x
′
i
cos θ − z
′
sin θ sin ψ y
′
i
sin θ sin ψ − x
′
i
sin θ cos ψ
−z
′
i
sin ψ −z
′
i
cos ψ x
′
i
sin ψ + y
′
i
cos ψ
−y
′
i
x
′
i
0
(4.105)
i 番目の質点にかかる力を
f
′
i;x
f
′
i;y
f
′
i;z
=
−∂U/∂x
′
i
−∂U/∂y
′
i
−∂U/∂z
′
i
(4.106)
定義する。同様に
f
φ
f
θ
f
ψ
=
−∂U/∂φ
−∂U/∂θ
−∂U/∂ψ
(4.107)
を定義すると、式 (4.103) より
f
ϕ
β
=
N
i=1
3
γ=1
Q
t
i;βγ
f
′
i;γ
(4.108)
数値計算のための解析力学 63
第 4 章 剛体の運動方程式
4.5.3 ラグランジアン
運動エネルギーとポテンシャルからラグランジアンをつくる。
L(φ, θ, ψ, ˙φ,
˙
θ,
˙
ψ) =K − U (4.109)
=
1
2
I
1
(ω
′
1
)
2
+ L
2
(ω
′
2
)
2
+ L
3
(ω
′
3
)
2
− U(φ, θ, ψ) (4.110)
=
1
2
I
1
(
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ)
2
+ I
2
(−
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ)
2
+I
3
( ˙φ cos θ +
˙
ψ)
2
− U(φ, θ, ψ) (4.111)
=
1
2
˙φ
2
I
1
sin
2
θ sin
2
ψ + I
2
sin
2
θ cos
2
ψ + I
3
cos
2
θ
+
1
2
˙
θ
2
I
1
cos
2
ψ + I
2
sin
2
ψ
+
1
2
I
3
˙
ψ
2
+ ˙φ
˙
θ sin θ cos ψ sin ψ (I
1
− I
2
) + I
3
˙
ψ ˙φ cos θ − U(φ, θ, ψ)
(4.112)
4.5.4 ラグランジュの運動方程式
ラグランジアンの各微分は以下の通り。
∂L
∂ ˙φ
= I
1
ω
′
1
sin θ sin ψ + I
2
ω
′
2
sin θ cos ψ + I
3
ω
′
3
cos θ (4.113)
∂L
∂φ
= −
∂U
∂φ
= f
φ
(4.114)
∂L
∂
˙
θ
= I
1
ω
′
1
cos ψ − I
2
ω
′
2
sin ψ (4.115)
∂L
∂θ
= I
1
ω
′
1
˙φ cos θ sin ψ + I
2
ω
′
2
˙φ cos θ cos ψ − I
3
ω
′
3
˙φ sin θ + f
θ
(4.116)
∂L
∂
˙
ψ
= I
3
ω
′
3
(4.117)
∂L
∂ψ
= I
1
ω
′
1
(−
˙
θ sin ψ + ˙φ sin θ cos ψ) − I
2
ω
′
2
(
˙
θ cos ψ + ˙φ sin θ sin ψ) + f
ψ
(4.118)
ここで
ℓ
′
α
= I
α
ω
′
α
(4.119)
を定義すると、ラグランジュの運動方程式は
d
dt
(ℓ
′
1
sin θ sin ψ + ℓ
′
2
sin θ cos ψ + ℓ
′
3
cos θ) = f
φ
(4.120)
d
dt
(ℓ
′
1
cos ψ − ℓ
′
2
sin ψ) = ℓ
′
1
˙φ cos θ sin ψ + ℓ
′
2
˙φ cos θ cos ψ −ℓ
′
3
˙φ sin θ +f
θ
(4.121)
d
dt
ℓ
′
3
= ℓ
′
1
ω
′
2
− ℓ
′
2
ω
′
1
+ f
ψ
(4.122)
数値計算のための解析力学 64
4.6 オイラー方程式
4.6 オイラー方程式
式 (4.122) はいいのだが、式 (4.120) と式 (4.121) はこのままでは積分しにく
いので、式 (4.122) も使って書き直すと、
d
dt
ℓ
′
1
= ℓ
′
2
ω
′
3
− ℓ
′
3
ω
′
2
+ f
θ
cos ψ + (f
φ
csc θ − f
ψ
cot θ) sin ψ (4.123)
d
dt
ℓ
′
2
= ℓ
′
3
ω
′
1
− ℓ
′
1
ω
′
3
− f
θ
sin ψ + (f
φ
csc θ − f
ψ
cot θ) cos ψ (4.124)
ここで (g
′
1
, g
′
2
, g
′
3
) = (g
′
x
, g
′
y
, g
′
z
) を次のように定義する。後で示すがこれはトルク
である。
g
′
1
g
′
2
g
′
3
= P
f
φ
f
θ
f
ψ
, P =
csc θ sin ψ cos ψ −cot θ sin ψ
csc θ cos ψ −sin ψ −cot θ cos ψ
0 0 1
(4.125)
すると
d
dt
ℓ
′
1
= ℓ
′
2
ω
′
3
− ℓ
′
3
ω
′
2
+ g
′
1
(4.126)
d
dt
ℓ
′
2
= ℓ
′
3
ω
′
1
− ℓ
′
1
ω
′
3
+ g
′
2
(4.127)
d
dt
ℓ
′
3
= ℓ
′
1
ω
′
2
− ℓ
′
2
ω
′
1
+ g
′
3
(4.128)
式 (4.122)–(4.124) はオイラー方程式と呼ばれる。オイラー方程式は
˙
ℓ
′
1
˙
ℓ
′
2
˙
ℓ
′
3
=
ℓ
′
1
ℓ
′
2
ℓ
′
3
×
ω
′
1
ω
′
2
ω
′
3
+
g
′
1
g
′
2
g
′
3
(4.129)
とも書ける。角速度 (ω
′
x
, ω
′
y
, ω
′
z
) だけを使って書けば
˙ω
′
x
=
(I
2
− I
3
)
I
1
ω
′
y
ω
′
z
+
g
′
x
I
1
(4.130)
˙ω
′
y
=
(I
3
− I
1
)
I
2
ω
′
z
ω
′
x
+
g
′
y
I
2
(4.131)
˙ω
′
z
=
(I
1
− I
2
)
I
3
ω
′
x
ω
′
y
+
g
′
z
I
3
(4.132)
角速度から剛体の向き（オイラー角）を求めるには、式 (4.59)–(4.61) を使ってオ
イラー角も同時に時間積分する必要がある。
数値計算のための解析力学 65
第 4 章 剛体の運動方程式
(g
′
1
, g
′
2
, g
′
3
) を求めてみよう。式 (4.125) と (4.108) より
g
′
α
=
3
β=1
P
αβ
f
′
β
(4.133)
=
3
β=1
P
αβ
N
i=1
3
γ=1
Q
t
i;βγ
f
′
i;γ
(4.134)
=
N
i=1
3
γ=1
(P Q
t
i
)
αγ
f
′
i;γ
(4.135)
ここで行列 P Q
t
i
は P と Q
i
の積を計算すれば、以下のように簡単になることが
分かる。
P Q
t
i
=
0 −z
′
i
y
′
i
z
′
i
0 −x
′
i
−y
′
i
x
′
i
0
(4.136)
したがって
g
′
α
=
N
i=1
ϵ
αβγ
x
′
i;β
f
′
i;γ
(4.137)
外積を使えば
g
′
1
g
′
2
g
′
3
=
N
i=1
x
′
i;1
x
′
i;2
x
′
i;3
×
f
′
i;1
f
′
i;2
f
′
i;3
(4.138)
つまり
(
g
′
1
, g
′
2
, g
′
3
) は各質点にかかるトルクの和（全トルク）を回転系 G
′
で測っ
た成分である。
4.7 剛体の角運動量とエネルギー
座標の原点を剛体の重心にとる。式 (4.45) を再掲する。
v = ω × x (4.139)
この式は、剛体がどれほど複雑な回転運動をしていても各瞬間に回転の軸 ω が定
義できて、剛体上に固定された点 x の速度 v がこのように書けることを意味する。
剛体の角運動量 ℓ は
ℓ =
N
i=1
m
i
x
i
× v
i
(4.140)
=
N
i=1
m
i
x
i
× (ω × x
i
) (4.141)
=
N
i=1
m
i
{(x
i
· x
i
) ω − (x
i
· ω) x
i
} (4.142)
数値計算のための解析力学 66
4.7 剛体の角運動量とエネルギー
まずは、剛体と共に回転しない静止系 G をとり、x,y,z 成分を数字の添え字を使っ
て (x
i
, y
i
, z
i
) = (x
i;1
, y
i;2
, z
i;3
) と書くと
ℓ
α
=
N
i=1
m
i
3
γ=1
x
i;γ
x
i;γ
Ω
α
− x
α
3
β=1
x
β
Ω
β
(4.143)
=
N
i=1
m
i
3
γ=1
x
i;γ
x
i;γ
3
β=1
δ
αβ
Ω
β
− x
α
3
β=1
x
β
Ω
β
(4.144)
=
3
γ=1
N
i=1
m
i
δ
αβ
3
γ=1
x
i;γ
x
i;γ
− x
α
x
β
ω
β
(4.145)
ここで x
iα
は時間に依存するので不便である。そこで剛体にと共に回転する系 G
′
で位置を計り、(x
′
i
, y
′
i
, z
′
i
) = (x
′
i;1
, y
′
i;2
, z
′
i;3
) と書くと、
ℓ
′
α
=
3
γ=1
N
i=1
m
i
δ
αβ
3
γ=1
x
′
i;γ
x
′
i;γ
− x
′
α
x
′
β
ω
′
β
(4.146)
=
3
β=1
I
αβ
ω
′
β
(4.147)
ここで I
αβ
は時間に依存しない。さらに座標軸（基底ベクトル）の方向をうまく
とれば I
αβ
は対角項だけになる。すると
ℓ
′
α
(t) = I
α
ω
′
α
(t) (4.148)
である。
回転系 G
′
で測った成分で書いた運動エネルギーは式 (4.101) である。再掲す
ると、
K =
1
2
3
β=1
I
β
(ω
′
β
)
2
(4.149)
である。
剛体に何も力が働かなければ剛体の角運動量 ℓ は保存する。何らかの力が働く
場合、角運動量を変化をトルクと呼ぶ。トルクを g と書くと、つまり静止系（慣
性系）G で
˙
ℓ = g (4.150)
一般に、任意のベクトル a の時間変化 b =
˙
a も、もちろんベクトルである。b
の成分を回転系でを測ると、
b
′
1
b
′
2
b
′
3
=
˙a
′
1
˙a
′
2
˙a
′
3
−
a
′
1
a
′
2
a
′
3
×
ω
′
1
ω
′
2
ω
′
3
(4.151)
かける。式 (
4.5) の R(t) を使えば証明できる。
数値計算のための解析力学 67
第 4 章 剛体の運動方程式
したがって、回転系で測ったトルクの成分を (g
′
1
, g
′
2
, g
′
3
) とすれば、式 (4.150)
より、
˙
ℓ
′
1
˙
ℓ
′
2
˙
ℓ
′
3
−
ℓ
′
1
ℓ
′
2
ℓ
′
3
×
ω
′
1
ω
′
2
ω
′
3
=
g
′
1
g
′
2
g
′
3
(4.152)
こうしてオイラー方程式は角運動量保存則 (4.150) からも導出できる。
数値計算のための解析力学 68
Chapter 5
不変性と保存則
5.1 点変換
座標 q
i
(i = 1, 2, ··· , N) で記述された自由度 N の系を考える。この系を別の
座標 Q
i
(i = 1, 2, ··· , N) で記述するために座標変換
Q
1
= Q
1
(q
1
, q
2
, ··· , q
N
)
Q
2
= Q
2
(q
1
, q
2
, ··· , q
N
)
.
.
.
Q
N
= Q
N
(q
1
, q
2
, ··· , q
N
)
しよう。二つの座標系の全ての点は一対一に対応しているものとする
∗
。つまり
逆の変換
q
1
= q
1
(Q
1
, Q
2
, ··· , Q
N
)
q
2
= q
2
(Q
1
, Q
2
, ··· , Q
N
)
.
.
.
q
N
= q
N
(Q
1
, Q
2
, ··· , Q
N
)
が存在する。このような変換を「点変換」という。
ラグランジュの運動方程式は点変換に対して形を変えない。それを今から確
認しよう。目標は
d
dt
∂L
∂
˙
Q
k
−
∂L
∂Q
k
=
N
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
∂q
i
∂Q
k
(5.1)
という式である。この式は座標 q
i
(i = 1, 2, ··· , N) でラグランジュの運動方程式
が成り立てば、座標 Q
i
(i = 1, 2, ··· , N) でも成り立つということを意味している。
∗
Q
i
での微分もできるとする。
69
第 5 章 不変性と保存則
まず、
˙q
i
=
N
j=1
∂q
i
∂Q
j
˙
Q
j
(5.2)
だから
∂ ˙q
i
∂
˙
Q
j
=
∂q
i
∂Q
j
(5.3)
が成り立つことに注意する。この関係はこのあと何度か使う。
(5.3) を時間微分して
d
dt
∂ ˙q
i
∂
˙
Q
k
=
N
j=1
∂
2
q
i
∂Q
j
∂Q
k
˙
Q
j
(5.4)
式 (5.2) より
∂ ˙q
i
∂Q
k
=
N
j=1
∂
2
q
i
∂Q
k
∂Q
j
˙
Q
j
(5.5)
この式と (5.4) を比較して、
d
dt
∂q
i
∂Q
k
=
d
dt
∂ ˙q
i
∂
˙
Q
k
=
∂ ˙q
i
∂Q
k
(5.6)
次に
∂L
∂
˙
Q
k
=
N
i=1
∂L
∂
˙
q
i
∂ ˙q
i
∂
˙
Q
k
=
N
i=1
∂L
∂
˙
q
i
∂q
i
∂Q
k
(5.7)
これを時間微分して
d
dt
∂L
∂
˙
Q
k
=
N
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
∂q
i
∂Q
k
+
N
i=1
∂L
∂ ˙q
i
d
dt
∂q
i
∂Q
k
(5.8)
=
N
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
∂q
i
∂Q
k
+
N
i=1
∂L
∂ ˙q
i
∂ ˙q
i
∂Q
k
(5.9)
また、
∂L
∂Q
k
=
N
i=1
∂L
∂q
i
∂q
i
∂Q
k
+
N
i=1
∂L
∂ ˙q
i
∂ ˙q
i
∂Q
k
(5.10)
式 (5.8) と (5.10) より、
d
dt
∂L
∂
˙
Q
k
−
∂L
∂Q
k
=
N
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
∂q
i
∂Q
k
+
N
i=1
∂L
∂ ˙q
i
∂ ˙q
i
∂Q
k
−
N
i=1
∂L
∂q
i
∂q
i
∂Q
k
+
N
i=1
∂L
∂ ˙q
i
∂ ˙q
i
∂Q
k
=
N
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
∂q
i
∂Q
k
数値計算のための解析力学 70
5.1 点変換
従って、
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
−
∂L
∂q
k
= 0 (k = 1, 2, . . . , N ) (5.11)
が成り立っているならば、
d
dt
∂L
∂
˙
Q
k
−
∂L
∂Q
k
= 0 (k = 1, 2, . . . , N ) (5.12)
も成り立つ。
一般化座標をどのようにとってもラグランジュの運動方程式の形が変わらな
いので、問題に応じて解きやすい一般化座標を自由にとればよい。
なお、上で考えた点変換は時間に依存しない場合であった。時間に陽に依存
する点変換
Q
1
= Q
1
(q
1
(t), q
2
(t), ··· , q
N
(t), t) (5.13)
Q
2
= Q
2
(q
1
(t), q
2
(t), ··· , q
N
(t), t) (5.14)
.
.
.
Q
N
= Q
N
(q
1
(t), q
2
(t), ··· , q
N
(t), t) (5.15)
に対してもラグランジュの運動方程式は形を変えない。例えば回転する座標系を
とってもよい。一定角速度で回転する回転系にあらわれる見かけの力（コリオリ
力と遠心力）はこの時間に依存する点変換によって自然に導くことができる。
y=1
y=-1
例 x-y 平面上の直線 1: y = 1 と直線 2: y = −1 の上を、同じ質量 m をもつ質
点 1 と質点 2 が滑らかに滑る。質点 1 と質点 2 の間はバネ定数 k、自然長 ℓ
0
の線
形バネで結ばれている。
一般化座標 A 一般化座標を質点 1 の x 座標を x
1
と質点 2 の x 座標 x
2
とする
と、ラグランジアンは
L(x
1
, x
2
, ˙x
1
, ˙x
2
) =
m
2
˙x
2
1
+ ˙x
2
2
−
k
2
(x
1
− x
2
)
2
+ 4
(5.16)
数値計算のための解析力学 71
第 5 章 不変性と保存則
ラグランジュの運動方程式は、
d
dt
∂L
∂ ˙x
1
−
∂L
∂x
1
= 0 (5.17)
d
dt
∂L
∂ ˙x
2
−
∂L
∂x
2
= 0 (5.18)
である。具体的には
m¨x
1
+ k(x
1
− x
2
) = 0 (5.19)
m¨x
2
+ k(x
2
− x
1
) = 0 (5.20)
である。
一般化座標 B 上の一般化座標 (x
1
, x
2
) を次のように点変換して別の一般化座標
(r, s) をとる。
r =
x
1
+ x
2
2
(5.21)
s =
x
1
− x
2
2
(5.22)
（r は二つの質点の x 座標の重心である。）すると、
x
1
= r + s (5.23)
x
2
= r − s (5.24)
つまり
˙x
1
= ˙r + ˙s (5.25)
˙x
2
= ˙r − ˙s (5.26)
である。したがって、ラグランジアンは
L(r, s, ˙r, ˙s) = m
˙r
2
+ ˙s
2
− 2k
1 + s
2
(5.27)
変換 (5.21) と (5.22) は点変換なので、ラグランジュの運動方程式は、式 (5.17),
(5.18) と同じ形である。
d
dt
∂L
∂ ˙r
−
∂L
∂r
= 0 (5.28)
d
dt
∂L
∂ ˙s
−
∂L
∂s
= 0 (5.29)
である。具体的には、
¨r = 0 (5.30)
m¨s + 2ks = 0 (5.31)
数値計算のための解析力学 72
5.2 保存則
式 (5.30) はすぐに解くことができて、
r(t) = c
0
+ c
1
t (5.32)
である（c
0
, c
1
は積分定数）。これは系の重心が等速直線運動をすることを意味
する。
式
(
5.30) が簡単に積分できた理由を振り返ってみると、式 (5.28) の左辺第二
項がゼロ、つまり
∂L
∂r
= 0 (5.33)
となっていたためである。
5.2 保存則
5.2.1 循環座標
N 自由度系のラグランジアン L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
,
. . . , ˙q
N
) から計算される
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
(5.34)
を一般化座標 q
i
に共役（きょうやく）な運動量、または一般化運動量という
†
。
ラグランジアン L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
,
. . . , ˙q
N
) が q
k
に依存しないとき、q
k
を
循環座標という。ラグランジアン (5.27) で r は循環座標である。
循環座標 q
k
に共役な運動量
p
k
=
∂L
∂ ˙q
k
(5.35)
は時間変化しない。つまり保存する。なぜなら、ラグランジュの運動方程式
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
−
∂L
∂q
k
= 0 (5.36)
と
∂L
∂q
k
= 0 (5.37)
より、
dp
k
dt
= 0 (5.38)
だからである。
†
一般化運動量はこの講義の後半で話すハミルトン力学では基本変数になる。
数値計算のための解析力学 73
第 5 章 不変性と保存則
例：角運動量の保存 ポテンシャル U が原点からの距離だけに依存するとき、こ
のポテンシャルから導かれる力は中心力と呼ばれる。中心力のもとで運動する一
つの質点を考えよう。2 次元極座標 {r, ϕ} で考える。速度の半径（r）方向成分は
v
r
= ˙r、方位角（ϕ）方向成分は v
ϕ
= r
˙
ϕ である。従って
v
2
= v
2
r
+ v
2
ϕ
= ˙r
2
+ r
˙
ϕ
2
(5.39)
である。ラグランジアンは
L(r, ϕ, ˙r,
˙
ϕ) =
m
2
˙r
2
+ r
2
˙
ϕ
2
− U(r) (5.40)
である。ϕ は循環座標なので、ϕ に共役な一般化運動量
p
ϕ
=
∂L
∂
˙
ϕ
=
mr
2
˙
ϕ
(5.41)
は保存する。これは角運動量である。
5.2.2
エネルギー
これまでずっとラグランジアン L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
) が時間に陽に
は依存しない場合を考えてきた
‡
。このような場合、p
j
を q
j
に共役な運動量と
して、
h =
N
j=1
p
j
˙q
j
− L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
) (5.42)
という量は時間変化しない（保存する）。ここで
なぜなら
dh
dt
=
d
dt
N
j=1
p
j
˙q
j
− L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
)
=
N
j=1
˙p
j
˙q
j
+
N
j=1
p
j
¨q
j
−
N
j=1
∂L
∂q
j
˙q
j
+
N
j=1
∂L
∂ ˙q
j
¨q
j
［第 2 項と第 4 項がキャンセル］
=
N
j=1
˙p
j
˙q
j
−
N
j=1
∂L
∂q
j
˙q
j
=
N
j=1
d
dt
∂L
∂ ˙q
j
−
∂L
∂q
j
˙q
j
= 0 ［ラグランジュの運動方程式より］
特に
L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
) = K − U (5.43)
‡
ラグランジアンが時間に陽に依存する場合というのは例えば L(q, ˙q, t) =
1
2
˙q
2
+
1
2
q
2
+ cos t の
ような場合。このような場合でもラグランジュの運動方程式は同じである。
数値計算のための解析力学 74
5.2 保存則
という形に書けて、U が ˙q
i
には依存せず、
K =
N
j=1
m
2
˙q
j
˙q
j
(5.44)
と書ける場合には h の意味が分かりやすくなる。この場合
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
=
∂K
∂ ˙q
i
= m ˙q
i
(5.45)
となる。（カーテシアン座標ならこれはよく知られた運動量の定義そのものであ
る。）このとき h は
h =
N
j=1
m ˙q
j
˙q
j
− (K − U) =
N
j=1
m ˙q
j
˙q
j
−
N
j=1
m
2
˙q
j
˙q
j
+ U = K + U (5.46)
つまり運動エネルギーとポテンシャルの和、全エネルギーを表す。上で確認した
dh/dt = 0 という式はエネルギー保存則を意味する。
5.2.3 運動量と角運動量
ラグランジアン L が時間に陽に依存しないとき、エネルギー保存則が成り立
つのを見た。ラグランジアン L が時間に陽に依存しないということは、時間 t の
原点をずらし、別の時間座標 t
′
t ⇒ t
′
= t + t
0
（t
0
は定数） (5.47)
とずらしても L が変わらないということである。同じようなことが空間をずらす
操作についても言える。
x 方向に空間をずらしてもラグランジアン L が変わらないというのは、3 次元
空間に置かれたその系がカーテシアン座標 x の原点のとりかた（絶対値）に依存
しないということである。例えば第 5.1章（p.71）で見た問題は、x 方向にどこか
特別な位置はない。（y 方向にはある。）したがって x の原点をどこにとってもラ
グランジアンは不変であるはずで、実際、式 (5.16) は x
1
と x
2
の差、つまり相対
置にのみ依存しているのでラグランジアンは不変である。
もっと極端な場合は、外の世界と何も相互作用していないような系である。こ
のような系は、その系を構成する内部要素同士の相対的な位置だけで系がどう変
化するか決まるはずである。したがって、そのような系のラグランジアンは、ど
の位置に座標の原点を設定してもかわらない。
2 質点系の場合 3 次元空間中に孤立した二つの質点からなる系を考え、この系
をカーテシアン座標をとる。（2 質点間の相互作用はなんでもよい。）二つの質点
の座標を
x = (x, y, z) (5.48)
X = (X, Y, Z) (5.49)
数値計算のための解析力学 75
第 5 章 不変性と保存則
として、一般化座標を (x, X) = (x, y, z, X, Y, Z), ラグランジアンを
L(x, X,
˙
x,
˙
X) (5.50)
とする。
この座標系の原点を微小ベクトル δr だけ平行移動した別のカーテシアン座標
系 (x
′
, X
′
) = (x
′
, y,
′
z
′
, X
′
, Y
′
, Z
′
) をとる。すると
x ⇒ x
′
= (x + δr
x
, y + δr
y
, z + δr
z
) (5.51)
X ⇒ X
′
= (X + δr
x
, Y + δr
y
, Z + δr
z
) (5.52)
˙
x ⇒
˙
x
′
=
˙
x (5.53)
˙
X ⇒
˙
X
′
=
˙
X (5.54)
この座標変換によるラグランジアンの変化は
δL = L(x
′
,
˙
x
′
, X
′
,
˙
X
′
) −L(x,
˙
x, X,
˙
X) (5.55)
=
∂L
∂x
δr
x
+
∂L
∂y
δr
y
+
∂L
∂z
δr
z
+
∂L
∂X
δr
x
+
∂L
∂Y
δr
y
+
∂L
∂Z
δr
z
(5.56)
である。x と X に共役な運動量を p と P と書けば、この式は、
δL = ˙p
x
δr
x
+ ˙p
y
δr
y
+ ˙p
z
δr
z
+
˙
P
x
δr
x
+
˙
P
y
δr
y
+
˙
P
z
δr
z
(5.57)
=
d
dt
(p
x
+ P
x
) δr
x
+
d
dt
(p
y
+ P
y
) δr
y
+
d
dt
(p
z
+ P
z
) δr
z
(5.58)
=
d
dt
(p + P ) ·δr (5.59)
任意の微小ベクトル δr に対して δL = 0 なので
d
dt
(p + P ) = 0 (5.60)
である。これは運動量保存則である。上では二つの質点の系について運動量保存
則を示したが、これが二個ではなく任意個数の質点系に対しても成り立つことは
上の導出を見れば明らかであろう。
一般化座標の場合 N 自由度系を考える。一般化座標 (q
1
, q
2
, . . . , q
N
) でラグラ
ンジアンが
L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
) (5.61)
とする。それぞれの一般化座標はカーテシアン座標系 K : (X
1
, X
2
, X
3
) で
q
i
= q
i
(X
1
, X
2
, X
3
) (5.62)
と書かれる。このカーテシアン座標系 K の原点を微小量 δr だけ平行移動した新
しいカーテシアン座標系 K
′
: (X
′
1
, X
′
2
, X
′
3
) をとる。つまり
X
α
⇒ X
′
α
+ δr
α
(α = 1, 2, 3) (5.63)
数値計算のための解析力学 76
5.2 保存則
K
′
系では一般化座標は
q
i
⇒ q
′
i
= q
i
(X
′
1
, X
′
2
, X
′
3
) = q
i
(X
1
, X
2
, X
3
) +
3
α=1
∂q
i
(X
1
, X
2
, X
3
)
∂X
α
δr
α
(5.64)
となるので、この平行移動変換による一般化座標の各成分の変化量は
δq
i
=
3
α=1
∂q
i
∂X
α
δr
α
(5.65)
である。また、
δ ˙q
i
=
3
α=1
∂ ˙q
i
∂X
α
δr
α
=
3
α=1
d
dt
∂q
i
∂X
α
δr
α
(5.66)
である。ラグランジアンの変化量は
δL(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
) =
N
j=1
∂L
∂q
j
δq
j
+
N
j=1
∂L
∂ ˙q
j
δ ˙q
j
(5.67)
なので、式 (5.65) と (5.66) より
δL =
N
j=1
∂L
∂q
j
3
α=1
∂q
j
∂X
α
δr
α
+
N
j=1
∂L
∂ ˙q
j
3
α=1
d
dt
∂q
j
∂X
α
δr
α
(5.68)
=
N
j=1
˙p
j
3
α=1
∂q
j
∂X
α
δr
α
+
N
j=1
p
j
3
α=1
d
dt
∂q
j
∂X
α
δr
α
(5.69)
=
3
α=1
N
j=1
d
dt
p
j
∂q
j
∂X
α
δr
α
(5.70)
ここで一般化運動量の定義式 p
j
= ∂L/∂ ˙q
j
とラグランジュの運動方程式を使っ
た。任意の平行移動 δr
α
に対して L が不変、つまり δL = 0 ならば
N
j=1
d
dt
p
j
∂q
j
∂X
α
= 0 (α = 1, 2, 3) (5.71)
である。これは
Y
α
=
N
j=1
Y
j
α
=
N
j=1
p
j
∂q
j
∂X
α
(α = 1, 2, 3) (5.72)
が保存することを意味する。これは運動量保存則である。
数値計算のための解析力学 77
第 5 章 不変性と保存則
角運動量の保存則 考えている系に「特別な位置」がなければ、系のラグランジア
ンが平行移動変換に対して不変であり、そのとき運動量が保存することがわかっ
た。同じように、考えている系に「特別な方向」がなければ、その系を観察する
人が座標の方向をどう設定しても系のラグランジアンは不変であろう。この場合
にも対応する保存量がある。座標系 K を単位ベクトル ω の方向を軸として微小
角度 ϵ だけ回転させた新しい座標系 K
′′
(X
′′
1
, X
′′
2
, X
′′
3
) をとると、3 次元カーテシ
アン座標は、
X
α
⇒ X
′′
α
= X
α
+ ϵ
3
β=1
3
γ=1
ϵ
αβγ
ω
β
X
γ
(5.73)
と変換されるので
§
、一般化座標は
q
i
⇒ q
′′
i
= q
i
+ δq
i
(5.74)
δq
i
=
3
α=1
∂q
i
∂X
α
δX
α
(q
i
) (5.75)
= ϵ
3
α=1
3
β=1
3
γ=1
∂q
i
∂X
α
ϵ
αβγ
ω
β
X
γ
(q
i
) (5.76)
= ϵ
3
α=1
3
β=1
3
γ=1
ω
β
ϵ
βγα
X
γ
(q
i
)
∂q
i
∂X
α
(5.77)
と変換される。運動量と同じように計算すれば、
d
dt
3
γ=1
3
α=1
ϵ
βγα
N
j=1
X
γ
(q
j
) p
j
∂q
j
∂X
α
= 0 (β = 1, 2, 3) (5.78)
を得る。Y
j
の定義式 (5.72) を使えば、
N
j=1
X
(
q
j
)
×
Y
j
= 0
(5.79)
が保存する。これは角運動量の保存則である。
5.3 ラグランジアンの不定性
これまで、「ラグランジアン L は、系の運動エネルギー K からポテンシャル
U を引いたものである」と説明してきた。実はこの説明は正確ではなく、ある系
を記述する—つまりラグランジュの運動方程式を使うとその系の正しい運動方程
式を導く—ラグランジアンは無数にある。L = K − U というラグランジアンは
そのうちの一つに過ぎない。
§
ϵ
αβγ
はエディントンのイプシロン。
数値計算のための解析力学 78
5.3 ラグランジアンの不定性
まずは簡単のために自由度 1 の場合を考える。一般化座標 q のラグランジア
ン L(q, ˙q) が与えられているとき、q の任意関数 W (q) の時間微分を加えた別のラ
グランジアン
L
′
(q, ˙q) = L(q, ˙q) +
dW (q)
dt
(5.80)
を考える。
dW (q)
dt
=
dW (q)
dq
˙q (5.81)
であることに注意すると、この二つのラグランジアンの差 dW (q)/dq に起因する
ラグランジュの運動方程式の差は
d
dt
∂
∂ ˙q
dW
dt
−
∂
∂q
dW
dt
=
d
dt
dW (q)
dq
−
d
2
W (q)
dq
2
˙q (5.82)
=
d
2
W (q)
dq
2
˙q −
d
2
W (q)
dq
2
˙q (5.83)
= 0 (5.84)
である。つまりラグランジアンは q の任意関数 W (q) の時間微分 dW (q)/dt 分だ
け不定である。
たとえば、1 自由度系のラグランジアン L(q, ˙q) に、（適当に作った）W (q) =
sin (q
3
) から作られる
dW
dt
=
d sin (q
3
)
dt
= 3q
2
˙q cos (q
3
) (5.85)
という妙な項を足しても運動方程式は変わらない。
多自由度系の場合にも同様である。一般化座標 (q
1
, q
2
, . . . , q
N
) の任意の関数
W (q
1
, q
2
, . . . , q
N
) を時間で微分した
dW (q
1
, q
2
, . . . , q
N
)
dt
=
N
j=1
∂W
∂q
j
dq
j
dt
=
N
j=1
∂W
∂q
j
˙q
j
(5.86)
をラグランジアン L に足しても運動方程式は変わらないことを確認しよう。
L
∗
(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) = L(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) +
dW (q
1
, . . . , q
N
)
dt
(5.87)
に対して、ラグランジュの運動方程式を導出してみると、
∂L
∗
∂ ˙q
k
=
∂L
∂ ˙q
k
+
∂W
∂q
k
(5.88)
d
dt
∂L
∗
∂ ˙q
k
=
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
+
d
dt
∂W (q
1
, . . . , q
N
)
∂q
k
=
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
+
∂
2
W
∂q
k
∂q
j
˙q
j
(5.89)
数値計算のための解析力学 79
第 5 章 不変性と保存則
一方、式 (5.87) より、
∂L
∗
∂q
k
=
∂L
∂q
k
+
∂
2
W
∂q
k
∂q
j
˙q
j
(5.90)
従って L
∗
から導かれる運動方程式
d
dt
∂L
∗
∂ ˙q
k
−
∂L
∗
∂q
k
= 0 (5.91)
は、
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
+
∂
2
W
∂q
k
∂q
j
˙q
j
−
∂L
∂q
k
+
∂
2
W
∂q
k
∂q
j
˙q
j
= 0 (5.92)
つまり、
d
dt
∂L
∂ ˙q
k
−
∂L
∂q
k
= 0 (5.93)
となる。これは L から導かれるラグランジュの運動方程式そのものである。
ある系を記述するラグランジアンは一つではない。一般化座標 {q
1
, q
2
, . . . , q
N
}
の系に対応するラグランジアン L が既知の時、任意の関数 W (q
1
, q
2
, . . . , q
N
) から
L
′
= L +
dW
dt
(5.94)
として「別の」ラグランジアン L
′
を構成すると、この新しい L
′
も L から導かれ
るものと全く同じ運動方程式を導く。つまりある系のラグランジアンは無数にあ
る
¶
。
5.4 荷電粒子の運動
電磁気学で習ったように、電荷 +e をもつ点電荷が静電場 E(x) の中にあると
き、そのポテンシャルエネルギー U は、静電ポテンシャルを ψ とすると
U(x) = eψ(x) (5.95)
である。静電場 E と静電ポテンシャル U には
E(x) = −∇ψ(x) (5.96)
という関係がある。点電荷の質量を m とするとこの系のラグランジアンは
L(x
1
, x
2
, x
3
, ˙x
1
, ˙x
2
, ˙x
3
) =
3
j=1
m
2
˙x
j
˙x
j
− eψ(x) (5.97)
である。ここではこれを短く
L(x,
˙
x) =
m
2
˙
x
2
− eψ(x) (5.98)
¶
ラグランジアンの不定性は上の dW (q )/dt というタイプに限らない。一自由度の質点系でポテン
シャルが存在しない系（自由粒子）のラグランジアンは L(q, ˙q) =
m
2
˙q
2
であるが、L
′
(q, ˙q) = e
√
m ˙q
というラグランジアンも L と同じ運動方程式を導く。
数値計算のための解析力学 80
5.4 荷電粒子の運動
と書くことにする。
次に磁場 B も考えよう。電場 E(x, t) と磁場 B(x, t) があるとき、電荷 +e、
質量 m の質点（点電荷）の運動を記述するラグランジアンは
L(x,
˙
x, t) =
m
2
˙
x ·
˙
x + eA(x, t) ·
˙
x −eψ(x, t) (5.99)
で与えられる。ここで A と ψ は電磁場のベクトルポテンシャルとスカラーポテ
ンシャルである。
電磁場のベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル
A
α
= A
α
(x
1
, x
2
, x
3
, t) (α = 1, 2, 3) (5.100)
ψ
=
ψ
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
(5.101)
と電場・磁場は、
E = −
∂A
∂t
− ∇ψ (5.102)
B = ∇ ×A (5.103)
という関係で結ばれている。
式 (5.102) と (5.103) から、
A ⇒ A
′
= A + ∇Λ (5.104)
ψ ⇒ ψ
′
= ψ −
∂Λ
∂t
(5.105)
という変換で新しいベクトルポテンシャル A
′
とスカラーポテンシャル ψ
′
を作って
も、そこから得られる電場と磁場は元と変わらないことが分かる。（ここで Λ(x, t)
は任意のスカラー場である。）なぜなら
E
′
= −
∂A
′
∂t
− ∇ψ
′
= −
∂A
∂t
− ∇ψ = E (5.106)
B
′
= ∇ ×A
′
= ∇ ×A + ∇× ∇Λ = ∇ × A = B (5.107)
だからである。この変換 (5.106) と (5.107) をゲージ変換という。
ラグランジアン (5.99) がゲージ変換によってどう変わるか見てみよう。
L ⇒ L
′
=
m
2
˙
x ·
˙
x + eA
′
·
˙
x −eψ
′
(5.108)
=
m
2
˙
x ·
˙
x + e (A + ∇Λ) ·
˙
x −e
ψ −
∂Λ
∂t
(5.109)
=
m
2
˙
x ·
˙
x + eA ·
˙
x −eψ + e
∇Λ · ˙x +
∂Λ
∂t
(5.110)
ここで、
∇Λ · ˙x +
∂Λ
∂t
=
3
j=1
∂Λ
∂x
j
˙x
j
+
∂Λ
∂t
=
dΛ(x, t)
dt
(5.111)
数値計算のための解析力学 81
第 5 章 不変性と保存則
であることに注意すると、
L
′
= L +
d
(
e
Λ)
dt
(5.112)
であることが分かる。これは運動方程式に影響を与えないラグランジアンの変換
(5.94) の W = eΛ の場合に相当する。つまりゲージ変換でラグランジアンは変わ
るが、そこから導かれる運動方程式は変わらない。
5.5 応用
5.5.1 一様磁場中の荷電粒子: レポート課題
B
z
x
y
一様磁場中の荷電粒子の運動を考えてみよう。カーテシアン座標をとり、ベ
クトルポテンシャルを
A = (A
x
, A
y
, A
z
) = (0, x, 0) (5.113)
とする。このとき、磁場は
B = ∇ ×A = (0, 0, 1) (5.114)
である。つまり z 軸方向の一様磁場を意味する。この磁場の下で運動する荷電粒
子（質量 m、電荷 e とする）を考えよう。（サイクロトン運動をすることは既知
であろう。）ラグランジアンは、式 (5.99) より
L(x,
˙
x) =
m
2
˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
+ ex ˙y (5.115)
である。ラグランジアン (5.115) からわかる保存量（循環座標に共役な運動量）を
二つ書け。
数値計算のための解析力学 82
5.5 応用
解答 y と z が循環座標である。それぞれに共役な一般化運動量
p
y
=
∂L
∂ ˙y
= m ˙y + ex = m ˙y + eA
y
(5.116)
p
z
=
∂L
∂ ˙z
= m ˙z (5.117)
が保存する。式 (5.117) は質点が z 方向に一定速度で移動することを意味する。
式 (5.116) の一般化運動量は、磁場が存在しないとき（A
y
= 0 のとき）ニュート
ン力学の意味でいう y 方向への運動量に一致する。
5.5.2 逆 2 乗引力と磁場
z
原点に固定された電荷 −Q が作る電場のスカラーポテンシャルは
ψ(r) = −
Q
r
(5.118)
である。電荷 e をもつ質点が半径 r の位置にいると、その質点がもつポテンシャ
ルエネルギー U は、
U(r) = eψ = −eQ/r （e は定数） (5.119)
である。質点に作用する力が電場のスカラーポテンシャル以外になければ、質点
は（太陽の重力の下で運動する惑星と同様に）楕円軌道を描いて運動する。この
系にさらに磁場をかけてみよう。
円筒座標 {r, ϕ, z} をとり、以下のようなベクトルポテンシャル A を考える。
A = (A
r
, A
ϕ
, A
z
) = (0, rB
0
/2, 0) （B
0
は定数） (5.120)
数値計算のための解析力学 83
第 5 章 不変性と保存則
ベクトル解析の公式集をみれば分かる通り、一般に円筒座標では
(∇ ×A)
r
=
1
r
∂A
z
∂ϕ
−
∂A
ϕ
∂z
(5.121)
(∇ ×A)
ϕ
=
∂A
r
∂z
−
∂A
z
∂r
(5.122)
(∇ ×A)
z
=
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
) −
1
r
∂A
r
∂ϕ
(5.123)
である。従って今の場合、磁場 B = ∇ ×A は z 成分だけが非ゼロで、
B = (B
r
, B
ϕ
, B
z
) = (0, 0, B
0
) (5.124)
である。つまり上のベクトルポテンシャル (5.120) は、z 軸方向の一様な磁場のベ
クトルポテンシャルである。（式 (5.113) のベクトルポテンシャル A は（ベクト
ルの場として）異なるが、同じ磁場を導く。）
いま x-y 平面内の運動だけに限定し、z 座標は考えないことにしよう。磁場の
強さ B
0
がゼロの場合を考えると、荷電粒子は楕円軌道を描くはずである。一方、
B
0
が強い極限では、原点の電荷 −Q からの引力は無視できて、サイクロトロン
運動をするはずである。
?
-Q
B
E
z
ラグランジアンを作ってみよう。荷電粒子の速度は円筒座標で書けば
˙
x = (v
r
, v
ϕ
, v
z
) = ( ˙r, r
˙
ϕ, v
z
) (5.125)
である。ベクトルポテンシャルは式 (5.120) なので、この系のラグランジアンは
L(r, ϕ) =
m
2
˙r
2
+ r
2
˙
ϕ
2
+
eB
0
2
r
2
˙
ϕ +
eQ
r
(5.126)
である。
数値計算のための解析力学 84
5.5 応用
5.5.3 レポート課題
前節で述べた重力下の荷電粒子の問題について以下を解け。
(a)
mr
2
˙
ϕ +
eB
0
2
r
2
が保存することを示せ。磁場がない（B
0
= 0）のときこれはニュートン力
学での角運動量 mr
2
˙
ϕ に一致する。
(b) 運動方程式が以下であることを示せ。
˙r = v
r
(5.127)
˙v
r
= rv
2
ϕ
+
eB
0
m
rv
ϕ
−
eQ
m
1
r
2
(5.128)
˙
ϕ = v
ϕ
(5.129)
˙v
ϕ
= −2
v
r
r
v
ϕ
−
eB
0
m
v
r
r
(5.130)
この運動方程式を 4 次のルンゲ=クッタ法で解く Processing コード（charged_planet.pde）
を講義の web page に置いた。
数値計算のための解析力学 85
第 5 章 不変性と保存則
解答例
(a) ϕ が循環座標になっているので、ϕ に共役な一般化運動量
p
ϕ
=
∂L
∂
˙
ϕ
= mr
2
˙
ϕ +
eB
0
2
r
2
= mr
2
˙
ϕ + erA
ϕ
(5.131)
は保存する。
(b) まず r 成分の運動方程式を導く。
∂L
∂ ˙r
= m ˙r
d
dt
∂L
∂ ˙r
= m¨r
∂L
∂r
= mr
˙
ϕ
2
+ eB
0
r
˙
ϕ −
Qe
r
2
従って運動方程式は
{m¨r}−
mr
˙
ϕ
2
+ eB
0
r
˙
ϕ −
Qe
r
2
= 0
つまり
¨r − r
˙
ϕ
2
−
eB
0
m
r
˙
ϕ +
eQ
m
1
r
2
= 0
である。
既にみたように ϕ 成分は循環座標だから簡単である。
∂L
∂
˙
ϕ
= mr
2
˙
ϕ +
eB
0
2
r
2
d
dt
∂L
∂
˙
ϕ
=
d
dt
mr
2
˙
ϕ +
eB
0
2
r
2
= 2mr ˙r
˙
ϕ + mr
2
¨
ϕ + eB
0
r ˙r = 0
少し整理すると
¨
ϕ + 2
˙r
r
˙
ϕ +
eB
0
m
˙r
r
= 0
となる。結局、r と ϕ の運動方程式は
¨r = r
˙
ϕ
2
+
eB
0
m
r
˙
ϕ −
eQ
m
1
r
2
(5.132)
¨
ϕ = −2
˙r
r
˙
ϕ −
eB
0
m
˙r
r
(5.133)
である。
v
r
= ˙r
v
ϕ
=
˙
ϕ
という新しい変数を定義すると、解くべき微分方程式系は (5.127)–(5.130)
となる。
数値計算のための解析力学 86
5.5 応用
5.5.4 荷電粒子の運動方程式: レポート課題（おまけ）
ラグランジアン (5.99) から、荷電粒子の運動方程式
m
¨
x = e {E +
˙
x ×B} (5.134)
を導け。
解答例
まずラグランジアン (5.99) から運動方程式の x
1
成分を作る。
∂L
∂ ˙x
1
= m ˙x
1
+ e A
1
から
d
dt
∂L
∂ ˙x
1
= m¨x
1
+ e
3
j=1
∂A
1
∂x
j
˙x
j
+ e
∂A
∂t
また、
∂L
∂x
1
= e
3
j=1
∂A
j
∂x
1
˙x
j
− e
∂ψ
∂x
1
である。したがって、運動方程式の x
1
成分は、
m¨x
1
+ e
3
j=1
∂A
1
∂x
j
˙
x
j
+
e
∂A
∂t
−
e
3
j=1
∂A
j
∂x
1
˙
x
j
−
e
∂ψ
∂x
1
= 0
ここで j について 1 から 3 までの和をとるときに j = 1 では ∂A
1
/∂x
j
と ∂A
j
/∂x
1
の二つは同じなのでキャンセルして
m¨x
1
+ e
∂A
1
∂x
2
˙x
2
+ e
∂A
1
∂x
3
˙x
3
+ e
∂A
∂t
−
e
∂A
2
∂x
1
˙x
2
+ e
∂A
3
∂x
1
˙x
3
− e
∂ψ
∂x
1
= 0
となる。つまり
m¨x
1
= e
˙x
2
∂A
2
∂x
1
−
∂A
1
∂x
2
− ˙x
3
∂A
1
∂x
3
−
∂A
3
∂x
1
− e
∂A
∂t
− e
∂ψ
∂x
1
ここで
(∇ ×A)
3
=
∂A
2
∂x
1
−
∂A
1
∂x
2
と
(∇ ×A)
2
=
∂A
1
∂x
3
−
∂A
3
∂x
1
を使うと
m¨x
1
= e {˙x
2
(∇ ×A)
3
− ˙x
3
(∇ ×A)
2
} −e
∂A
∂t
+
∂ψ
∂x
1
数値計算のための解析力学 87
第 5 章 不変性と保存則
である。式 (5.102) と (5.103) より、
m¨x
1
= e ( ˙x
2
B
3
− ˙x
3
B
2
) + e E
1
である。これは
m¨x
1
= e (
˙
x ×B)
1
+ e E
1
と書ける。他の成分（x
2
成分と x
3
成分）についても同様。
数値計算のための解析力学 88
Chapter 6
ハミルトニアンと正準方程式
6.1 ラグランジュの運動方程式と数値計算
1 自由度系のラグランジュの運動方程式
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= 0 (6.1)
は時間 t に関する 2 階の微分方程式である。
この微分方程式を 4 次のルンゲ=クッタ法のような数値積分法を使って解くの
は難しいことではない。まずはラグランジュの運動方程式を
¨q = F (q, ˙q) (6.2)
という形に変形し、
˙q = v (6.3)
˙v = F (q, v) (6.4)
という 2 つの一階微分方程式に分ければよい。
自由度が 2 以上の場合でも同様である。例えば前の章でみた
L(r, ϕ, ˙r,
˙
ϕ) =
m
2
˙r
2
+ r
2
˙
ϕ
2
+
eB
0
2
r
2
˙
ϕ +
eQ
r
(6.5)
というラグランジアンから得られる運動方程式は、時間に関する 2 階の微分方程
式が 2 つ
¨r = r
˙
ϕ
2
+
eB
0
m
r
˙
ϕ −
eQ
m
1
r
2
(6.6)
¨
ϕ = −2
˙r
r
˙
ϕ −
eB
0
m
˙r
r
(6.7)
であった。これを数値積分で解くには
v
r
= ˙r (6.8)
89
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
v
ϕ
=
˙
ϕ (6.9)
という新しい変数を定義し、時間微分が左辺だけにあらわれるように式を変形す
ればよい。
˙r = v
r
(6.10)
˙v
r
= rv
2
ϕ
+
eB
0
m
rv
ϕ
−
eQ
m
1
r
2
(6.11)
˙
ϕ = v
ϕ
(6.12)
˙v
ϕ
= −2
v
r
r
v
ϕ
−
eB
0
m
v
r
r
(6.13)
これを 4 次ルンゲ=クッタ法などを使って積分するのは簡単である。
一般化して、N 自由度系のラグランジアン L(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) から得ら
れるラグランジュの運動方程式を数値計算で解く場合を考えよう。
数値積分プログラムに渡すことを想定し、q
i
に共役な一般化運動量 p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
を新たな変数として導入する。するとラグランジュの運動方程式から、
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) (6.14)
˙p
i
=
∂L
∂q
i
(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) (6.15)
という 2N 個の一階微分方程式系が自然に得られる。しかし、この式のままでは
˙q
i
が右辺に入っているので、数値積分プログラムにこの式をそのまま移すことは
できない。そこで、この式を（手計算で）変形し、
˙q
i
= F
q
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
), (6.16)
˙p
i
= F
p
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (6.17)
という形に変換した上でようやく数値積分プログラムに渡すことが出来る。
こうした面倒な式変形なしに、式 (6.16) と式 (6.17) の形で微分方程式系が自
然に導出されるような力学理論がある。それは、ハミルトン形式の解析力学と呼
ばれる。
ラグランジュ形式の解析力学では、
p
i
=
∂L(··· , ˙q
i
, ···)
∂ ˙q
i
(6.18)
という式が得られて、これは数値計算上不便なので、最初から
˙q
i
=
∂H(··· , p
i
, ···)
∂p
i
(6.19)
という形が得られる方法が欲しいというわけであるが、こういう場合にはルジャ
ンドル変換を使うのが便利である。H はハミルトニアンと呼ばれる。
数値計算のための解析力学 90
6.2 ルジャンドル変換
6.2 ルジャンドル変換
x
f(x)
β
x の凸関数 f(x) を考える。凸関数では、x に対して、接線の傾き β
β =
df(x)
dx
(6.20)
が一意に決まる（二つの異なる x で同じ接線の傾きを持つことはない）。そこで x
から β への変数変換
x ⇔ β (6.21)
を考えよう。この新しい変数 β に対して、式 (6.20) に対応するような関係
x =
dg
(
β
)
dβ
(6.22)
を導く関数 g(β) は何であろうか？それは
x β = f + g (6.23)
を満たす関数、つまり
g(β) = x β − f(x) (6.24)
である。なぜなら
g(β) = x(β) β − f(x(β)) (6.25)
に対して、
dg
dβ
= x + β
dx
dβ
−
df
dx
dx
dβ
= x (6.26)
であるからである。ここで式 (6.20) を使った。式 (6.24) を x に関する f から g
へのルジャンドル (Legendre) 変換という。
g も凸関数である。また、式 (6.23) の対称性から明らかなように、ルジャンド
ル変換した関数をルジャンドル変換すると元に戻る。
ルジャンドル変換の簡単な例をあげれば、
f
0
(x) = x
2
⇔ g
0
(β) =
β
2
4
(6.27)
数値計算のための解析力学 91
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
である。この関数 f
0
(x) を x 方向に並行移動した関数のルジャンドル変換は
f
1
(x) = (x −1)
2
⇔ g
1
(β) =
β
2
4
+ β (6.28)
である。また、f
0
(x) を定数倍した関数のルジャンドル変換は
f
2
(x) = c x
2
⇔ g
2
(β) =
β
2
4c
(6.29)
となる。
ラグランジュの運動方程式に戻ろう。ラグランジアン L(q, ˙q) の変数 q は省略
して L( ˙q) と書くことにすると、
p =
∂L( ˙q)
∂ ˙q
(6.30)
という式はこのままでは使いにくいので、
˙q =
∂(?)
∂p
(6.31)
という形に持って行きたいという話をしていた。そこで、L( ˙q) に ˙q に関するル
ジャンドル変換を施した
H(p) = p ˙q − L( ˙q) (6.32)
に対して
˙q =
∂H(p)
∂p
(6.33)
となる。これで、望みどおりの形になった。念の為にもう一度確認してみると、
∂H(p)
∂p
= ˙q + p
∂ ˙q
∂p
−
∂L
∂ ˙q
∂ ˙q
∂p
= ˙q + p
∂ ˙q
∂p
− p
∂ ˙q
∂p
= ˙q (6.34)
と確かに成り立っている。
ルジャンドル変換としての L と H ルジャンドル変換としての L と H の関係を
まとめておこう。
数値計算のための解析力学 92
6.3 ハミルトニアン
x
f(x)
β
x ⇔ β
f(x) ⇔ g(β)
df
dx
= β ⇔
dg
dβ
= x
. . .
˙q ⇔ p
L(··· , ˙q) ⇔ H(··· , p)
∂L
∂ ˙q
= p ⇔
∂H
∂p
= ˙q
6.3 ハミルトニアン
ラグランジアン L(q, ˙q) を ˙q に関してルジャンドル変換した
1 自由度系のハミルトニアン
H(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q) (6.35)
をハミルトニアン（Hamiltonian）という。
ハミルトニアンでは q と p が独立変数である。q は正準座標、p を q に共役な
正準運動量という。q と p の組を正準変数という。
上で書いたように、
˙q =
∂H
∂p
(6.36)
数値計算のための解析力学 93
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
である。では、
∂H
∂q
がどうなるか、計算してみよう。
∂H
∂q
=
∂
∂q
{p ˙q − L(q, ˙q(q, p)} (6.37)
= p
∂ ˙q(q, p)
∂q
−
∂L
∂q
−
∂L
∂ ˙q
∂ ˙q
∂q
(6.38)
∂L
∂ ˙q
= p より
(6.39)
= −
∂L
∂q
(6.40)
= −˙p (6.41)
ここで、最後の変形では、ラグランジュの運動方程式
d
dt
∂L
∂ ˙q
=
dp
dt
=
∂L
∂q
(6.42)
を使った。
6.4 正準方程式
6.4.1 1 自由度系
上では、ラグランジアンが与えられていて、ラグランジュの運動方程式が成
り立つならば、即ち式 (6.42) を仮定すれば、
∂H
∂q
= −˙p (6.43)
が成り立つことを示した。ここで、ラグランジアンのことは忘れて、ハミルトニ
アン H(q, p) が基本的な存在であると考えてみよう。そうすると、運動方程式は、
1 自由度系の正準方程式
˙q =
∂H(q, p)
∂p
(6.44)
˙p = −
∂H(q, p)
∂q
(6.45)
となる。これをハミルトン形式の運動方程式、あるいは正準方程式という。
ラグランジアン L(q, ˙q) が既知でハミルトニアン H(q, p) が未知の場合は、ル
ジャンドル変換
H(q, p) = p ˙q(q, p) −L(q, ˙q(q, p)) (6.46)
によってハミルトニアンを構成することができる。（逆に H から L をルジャンド
ル変換で求めることもできる。）ここで、p は、q に共役な正準運動量、つまり
p =
∂L(q, ˙q)
∂ ˙q
数値計算のための解析力学 94
6.4 正準方程式
である。
6.4.2 多自由度系
多自由度系の正準方程式は 1 次元系の自然な拡張である。N 自由度の系に対
しては、N 個の正準座標 q
1
, ··· , q
N
と N 個の正準運動量 p
1
, ··· , p
N
がある。ハ
ミルトニアンはこの 2N 個の正準変数の関数 H(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, p
1
, p
2
, . . . , p
N
) で
あり、ラグランジアン L(q
1
, ··· , q
N
, ˙q
1
, ··· , ˙q
N
) からルジャンドル変換
N 自由度系のハミルトニアン
H(q
1
, ··· , q
N
, p
1
, ··· , p
N
) =
N
i=1
p
i
˙q
i
− L(q
1
, ··· , q
N
, ˙q
1
, ··· , ˙q
N
) (6.47)
で得られる。
系の時間発展を記述する正準方程式は
N 自由度系の正準方程式
˙q
i
=
∂H
∂p
i
(1 ≤ i ≤ N) (6.48)
˙p
i
= −
∂H
∂q
i
(1 ≤ i ≤ N) (6.49)
である。ここで p
i
は、q
i
に共役な正準運動量
p
i
=
∂L
∂q
i
(6.50)
である。
数値計算のための解析力学 95
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
6.4.3 相空間
ラグランジュ形式の力学では、ラグランジアン L(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, . . . , ˙q
N
)
が基本であったのに対し、ハミルトン形式の力学ではハミルトニアン
H(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, p
1
, p
2
, . . . , p
N
) (6.51)
が基本である。ハミルトニアンは合計 2N 個の正準変数 (q
1
(t), q
2
(t), . . . , q
N
(t), p
1
(t), p
2
(t), . . . , p
N
(t))
の関数である。その系の情報は全てハミルトニアンに書き込まれているといえる。
N 自由度の系の「状態」はある時刻 t における一般化座標 (q
1
(t), q
2
(t), . . . , q
N
(t)
の値だけでは指定できない。
( ˙
q
1
(
t
)
,
˙
q
2
(
t
)
, . . . ,
˙
q
N
(
t
)
の情報、つまりその時の速度も
必要である。ハミルトン力学では系の状態を、正準変数 (q
1
, q
2
, . . . , q
N
, p
1
, p
2
, . . . , p
N
)
を座標として構成される 2N 次元の空間の一点で指定する。これを相空間（また
は位相空間）という。相空間の位置と系の「状態」は一対一に対応する。
相空間中の系の状態（点）がどう動くかを決めるのがハミルトンの正準方程
式 (6.48), (6.49) である。二本の軌跡（解曲線）が交わることはない。正準方程
式の初期条件は、2N 個の正準変数 (q
1
(t), q
2
(t), . . . , q
N
(t), p
1
(t), p
2
(t), . . . , p
N
(t))
の値で指定される。異なる初期条件から出発した解曲線が交わることはないので、
相空間は初期条件を異にする無数の解曲線でびっしりと埋め尽くされている。
数値計算のための解析力学 96
6.4 正準方程式
6.4.4 簡単な例:調和振動子
q
q=0
バネ（定数 k）と質点（質量 m）の 1 次元系を考えよう。自然長の位置を q = 0
として正準座標 q をとると、この系のラグランジアン L は
L(q, ˙q) = K − U =
m
2
˙q
2
−
k
2
q
2
である。正準運動量 p は
p =
∂L
∂ ˙q
= m ˙q
だから、この系のハミルトニアンは、ルジャンドル変換より
H(q, p) = p ˙q − L =
p
2
m
−
p
2
2m
−
k
2
q
2
=
p
2
2m
+
k
2
q
2
ある。
改めて書くと、この系のハミルトニアンは、
H(q, p) =
p
2
2m
+
k
2
q
2
(6.52)
で与えられる。正準方程式をたててみよう。
˙q =
∂H
∂p
=
p
m
(6.53)
˙p = −
∂H
∂q
= −kq (6.54)
正準方程式 (6.53), (6.54) は、左辺に基本変数の時間微分があり、右辺には時
間微分が含まれていない。つまり、式 (6.3) と (6.4) のような形に自動的になって
いる。したがって、このまま数値積分プログラムに移すことができるので大変便
利である。（この場合は解析的に解けるが。）
このハミルトニアン (6.52) を q と ˙q で書いてみると、
H =
m
2
˙q
2
+
k
2
q
2
= K + U (6.55)
であることがわかる。つまりハミルトニアンは系の全エネルギーの関数形に等
しい。
数値計算のための解析力学 97
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
6.5 ハミルトニアンとエネルギー
ハミルトニアン (6.52) が全エネルギーの式に一致するのは偶然ではない。
ポテンシャル U(q) が速度に依存せず、運動エネルギー K が q の関数 f(q) を
使って以下の形にかける場合を考えよう。
U(q, ˙q) = U (q), K(q, ˙q) = f(q) ˙q
2
(6.56)
この場合、ラグランジアン L は
L = K − U = f(q) ˙q
2
− U(q) (6.57)
である。正準運動量は U が ˙q に依存しないので K の微分から得られる。
p =
∂K
∂ ˙q
(6.58)
つまり
p =
∂K
∂ ˙q
= 2f(q) ˙q (6.59)
ルジャンドル変換によって
H = p ˙q − L (6.60)
= 2f(q) ˙q ˙q −
f(q) ˙q
2
− U(q)
(6.61)
= f(q) ˙q
2
+ U(q) (6.62)
= K + U (6.63)
こうして、
H =（運動エネルギー）+（ポテンシャル）= (全エネルギー) (6.64)
確かめられた。
なお、これは関数の形が全エネルギーと等しいという意味である。ハミルト
ニアン H は q と p の「関数」（後に述べる相空間中の「場」）であり、「量」とし
ての全エネルギーとは異なることに注意しよう。
数値計算のための解析力学 98
6.6 正準方程式のイメージ
6.6 正準方程式のイメージ
∇H(q, p) =
!
∂H
∂q
,
∂H
∂p
"
!
dq
dt
,
dp
dt
"
=
!
∂H
∂p
, −
∂H
∂q
"
1 自由度系のハミルトニアン H(q, p) を考えよう。これは 2 次元相空間 (q, p)
のスカラー場である。系の状態は、相空間中の点 (q
0
, p
0
) で指定される。正準方
程式はこの相空間中の点 (状態) の動き方を定める。
相空間 q-p 中の H(q, p) の勾配 (gradient) ベクトルを考えてみよう。
∇H =
∂H/∂q
∂H/∂p
(6.65)
である。以前説明したように（ベクトル解析で習ったように）、このベクトルはそ
の点で H が最も増大する方向を指している。さて、正準方程式をまとめて
˙q
˙p
=
∂H/∂p
−∂H/∂q
(6.66)
と書いてみよう。上の式から、相空間中を動く点の速度ベクトル
u ≡
˙q
˙
p
(6.67)
と、勾配ベクトル ∇H の内積がゼロ
u ·∇H =
∂H
∂p
∂H
∂q
−
∂H
∂q
∂H
∂p
= 0 (6.68)
つまり直交することがわかる。系は相空間中を常に H(q, p) の等高線の接線方向
に動く。従ってその等高線からはずれることはない。これはエネルギー保存則を
意味する。多自由度系についての同様な議論が成り立つ。
数値計算のための解析力学 99
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
6.7 リウヴィルの定理
【ここでは流体力学を学んだことのある学生を想定した説明をしている。流体力
学をまだ履修していない学生は読み飛ばしてよい。】N 自由度系の相空間中に点
（状態）がぎっしり無数に分布している様子を思い浮かべよう一つ一つの点を 2N
次元の相空間に存在する仮想的な流体の流体粒子だと考えよう。するとこの流体
の流れ
u =
u
1
u
2
.
.
.
u
N
u
N+1
u
N+2
.
.
.
u
2N
=
˙q
1
˙q
2
.
.
.
˙q
N
˙p
1
˙p
2
.
.
.
˙p
N
(6.69)
は非圧縮流であることが分かる。なぜならこの流れの（2N 次元の）発散をとると
∇ ·u =
N
j=1
∂u
j
∂q
j
+
N
j=1
∂u
N+j
∂p
j
(6.70)
=
∂ ˙q
j
∂q
j
+
∂ ˙p
j
∂p
j
(6.71)
=
∂
∂q
j
∂H
∂p
j
−
∂
∂p
j
∂H
∂q
j
(6.72)
= 0 (6.73)
数値計算のための解析力学 100
6.8 演習
となるからである。従って相空間中の流れに乗って動く微小な部分は変形はする
が体積は変わらない。これをリウヴィルの定理という。
6.8 演習
6.8.1 問題 1
x
y
z
(1,0,1)
θ
【これは以前（p.44）も考えた系である。】質量 m の質点が、原点を中心とす
る半径 1 の円（x
2
+ y
2
= 1）の上を滑る。この質点が、点 (x, y, z) = (1, 0, 1) と
バネでつながれているときの運動を求める。重力はなく、摩擦は無視する。バネ
定数は k、自然長は 0 とする。
(a) 図のように質点が x 軸となす角度 q を一般化座標として、この系のポテン
シャル U と運動エネルギー K を求めよ。
(b) q に共役な運動量 p を求めよ。
(c) q と p を正準変数としたハミルトニアン H(q, p) を求めよ。
(d) 正準方程式を書け。
(e) |q| ≪ 1 の時の解を求めよ。
解
(a) 質点の座標は (x, y, z) = (cos q, sin q, 0) である。バネの長さを ℓ とすると
ℓ
2
= (cos q − 1)
2
+ sin
2
q + 1 = 3 −2 cos q
だからポテンシャルエネルギーは
U =
k
2
ℓ
2
=
k
2
(3 −2 cos q)
数値計算のための解析力学 101
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
である。
運動エネルギーは
K =
m
2
˙q
2
(b) この系は式 (6.56) の形なので
p =
∂K
∂
˙
q
= m ˙q
(c) ハミルトニアンは
H = K + U
より
H(q, p) =
p
2
2m
+
k
2
(3 −2 cos q)
(d)
˙q =
∂H
∂p
=
p
m
(6.74)
˙p = −
∂H
∂q
= −k sin q (6.75)
(d) |q| ≪ 1 のとき sin q ∼ q だから、(6.75) は
˙p = −k q
となる。式 (6.74) を時間微分した式にこれを代入すると、
¨q = −ω
2
q
を得る。ここで ω
2
= k/m である。従って解は
q(t) = c
1
cos (ωt + c
2
)
c
1
と c
2
は定数。
6.8.2 問題 2
これも以前、ラグランジュ形式で解いた問題である。
数値計算のための解析力学 102
6.8 演習
!
"
m
g
φ
長さ 2 の重さのない棒の中心に固着した質量 m の質点がある。鉛直下方の
一様重力（重力定数 g）の下、この棒を壁に (斜めに）立て掛けた。床面に
沿って x 軸、壁面に沿って y 軸をとる。棒の両端はそれぞれ壁面と床面か
ら離れないように（摩擦なしで）滑りながらこの棒が倒れる途中の運動を
考える。棒と壁のなす角度 q を正準座標とする。
(a) この系のポテンシャル U と運動エネルギー K を書け。
(a) q に共役な運動量 p を書け。
(b) p と q を正準変数としたハミルトニアン H(q, p) を書け。
(c) 正準方程式を書け。
(d) q ≪ 1 の時の解を求めよ。
解答
(a) 質点の位置を (x, y) とすると
(x, y) = (sin q, cos q)
速度は
( ˙x, ˙y) = (cos q ˙q, −sin q ˙q)
である。棒は質量を持たないので、この系の運動エネルギー K は、質
点だけが持っている。従って、
K =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
) =
m
2
˙q
2
同様に棒はポテンシャルを持たないので、系のポテンシャル U は、質
点の重力ポテンシャル
U = mgy = mg cos q
である。
数値計算のための解析力学 103
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
(b)
p =
∂K
∂ ˙q
= m ˙q
(c)
H = K + U =
p
2
2m
+ mg cos q
(d)
˙q =
∂H
∂p
=
p
m
˙p = −
∂H
∂q
= mg sin q
(e) |q| ≪ 1 の時、sin q ∼ q より、正準方程式は
˙q =
p
m
˙p = mgq
となる。この 2 つの式から
¨q = gq
この解は c
1
と c
2
を定数として
q(t) = c
1
e
√
g t
+ c
2
e
−
√
g t
と書けるが、このうち、自然な（棒が倒れていく）解は c
2
= 0、つまり
q(t) = c
1
e
√
g t
である。棒が倒れるとき、角度が
√
g の成長率で指数関数的に増大す
ることを意味する。
数値計算のための解析力学 104
6.8 演習
6.8.3 問題 3
1
1
q
x 軸と y 軸に接する半径 1 の円周上を質量 m の質点が滑らかに滑る。原点
と質点はバネ（ばね定数 k、自然長 0）で結ばれている。図のように x 軸と
なす角度 q を正準座標とする。
(1-1) この系のハミルトニアン H(q, p) を書け。
(1-2) この系の正準方程式を書け。
(1-3) この質点の運動はある振り子と同じである。どのような振り子か？
解答
(1-1) 質点の速度は ˙q、 運動エネルギーは m ˙q
2
/2、バネのポテンシャルは
U(q) =
k
2
(1 + cos q)
2
+ (1 + sin q)
2
である。これから、q に共役な運動量は
p =
∂K
∂ ˙q
= m ˙q
従って、ハミルトニアンは
H(q, p) = K + U =
p
2
2m
+ k (cos q + sin q)
あるいは
H(q, p) =
p
2
2m
+
√
2k cos
q −
π
4
(6.76)
等としてももちろん構わない。
数値計算のための解析力学 105
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
(1-2) 正準方程式は
˙q =
p
m
(6.77)
˙p = k (sin q − cos q) (6.78)
である。
(1-3) q = 5π/4 方向に重力加速度のある系での振り子の運動と同じである。
q
g
m
一様重力 g の下で半径 ℓ の円上を滑らかに滑る質量 m の質点の運動を
考える。（つまり長さ ℓ の糸による振り子の運動。）図のように角度 q
をとり、p = mℓ
2
˙q とするとこの系のハミルトニアンは
H(q, p) =
p
2
2mℓ
2
− mg cos q (6.79)
2 つのハミルトニアン (6.76) と (6.79) を比較すると、バネの問題のハ
ミルトニアン (6.79) は、一様重力下の振り子のハミルトニアン (6.76)
を ℓ → 1、k →
√
2k として q → q + 5π/4 と変換した場合に相当する
ことが分かる。つまり、x 軸から 5π/4 方向に
√
2k の重力加速度があ
る場合の振り子の運動と同じである。
6.8.4 問題 4: レポート課題
ラグランジアンが L(q, ˙q) =
1
2
(q + ˙q)
2
の系について、
(a) ハミルトニアン H(q, p) を書け。
(b) 正準方程式を書け。
(c) q(0) = p(0) = 1 を初期条件とし、q(t) と p(t) を解け。
数値計算のための解析力学 106
6.8 演習
レポート課題
1 上の問題 4 を解け。
2 【任意記入（書かなくても可）】これまでの講義で分からないところ
があれば書いてください。
解答例
(a) ラグランジアン
L(q, ˙q) =
1
2
(q + ˙q)
2
から q に共役な正準運動量は
p =
∂L
∂ ˙q
= q + ˙q
である。したがってハミルトニアン H は、L をルジャンドル変換して
H(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q)
= p (p −q) −
1
2
p
2
=
p
2
2
− pq
(b) 正準方程式
˙q =
∂H
∂p
˙p = −
∂H
∂q
に上のハミルトニアン H(q, p) を代入すると、
˙q = p −q (6.80)
と
˙p = p (6.81)
の二つが求める正準方程式である。
(c) 式 (6.81) の解は、
p(t) = c e
t
である。ここで c は定数。初期条件 p(0) = 1 より、c = 1、つまり
p(t) = e
t
が p(t) の解である。次に式 (6.80) を解く。
q(t) = c
1
e
t
+ c
2
e
−t
(6.82)
数値計算のための解析力学 107
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
と置くと、初期条件 q(0) = 1 より
c
1
+ c
2
= 1 (6.83)
また式 (6.80) より
˙q(0) = p(0) −q(0) = 1 −1 = 0
一方、式 (6.82) より ˙q(0) = c
1
− c
2
だから
c
1
− c
2
= 0 (6.84)
式 (6.83) と (6.84) より、
c
1
= c
2
=
1
2
である。従って
q(t) =
1
2
e
t
+
1
2
e
−t
= cosh t
である。まとめると
q(t) = cosh t
p(t) = e
t
が求める解である。
数値計算のための解析力学 108
6.8 演習
6.8.5 問題 5
21
q
1
q
2
質量 m の質点が二つ、それぞれ半径 1 と半径 2 の円（中心を共有）の上を
滑らかに滑る。二つの質点の間がバネ（バネ定数は k、自然長は 0）でつな
がれているものとする。二つの円の中心を原点にとり、x 軸からの角度 q
1
と q
2
を正準座標とする。
問題 正準方程式を書け。
解答例 二つの質点間の距離 ℓ は
ℓ =
5 −4 cos (q
1
− q
2
) (6.85)
なので、バネのポテンシャルは
U =
k
2
{5 −4 cos (q
1
− q
2
)}
である。
この系のラグランジアンは
L = K − U =
m
2
˙q
2
1
+
m
2
(2 ˙q
2
)
2
−
k
2
ℓ
2
(q
1
, q
2
)
数値計算のための解析力学 109
第 6 章 ハミルトニアンと正準方程式
である。ここで ℓ は式 (6.85) である。
p
1
=
∂L
∂ ˙q
1
= m ˙q
1
(6.86)
p
2
=
∂L
∂ ˙q
2
= 4m ˙q
2
(6.87)
を使ってルジャンドル変換すると、
H(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) = p
1
˙q
1
+p
2
˙q
2
−L = ··· =
p
2
1
2m
+
p
2
2
8m
+
k
2
{5 −4 cos (q
1
− q
2
)}
である。あるいは
H = K + U
から直接求めてもよい。
定数部分の 5k/2 は正準方程式には寄与しないので無視すると、この系のハ
ミルトニアンは
H(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) =
p
2
1
2m
+
p
2
2
8m
− 2k cos (q
1
− q
2
) (6.88)
である。正準方程式は、以下の 4 つの式である。
˙q
1
=
∂H
∂p
1
=
p
1
m
(6.89)
˙q
2
=
∂H
∂p
2
=
p
2
4m
(6.90)
˙p
1
= −
∂H
∂q
1
= −2k sin (q
1
− q
2
) (6.91)
˙p
2
= −
∂H
∂q
2
= 2k sin (q
1
− q
2
) (6.92)
数値計算のための解析力学 110
Chapter 7
正準変換とポアッソン括弧
7.1 座標変換の必要性
ラグランジュ形式の力学では、一般化座標
(q
1
, . . . , q
N
)
から別の一般化座標
(Q
1
, . . . , Q
N
)
への点変換
Q
i
= Q
i
(q
1
, . . . , q
N
) (i = 1, 2, . . . N ) (7.1)
を施しても、ラグランジュの運動方程式は変換前の
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0
と同じ形
d
dt
∂L
∂
˙
Q
i
−
∂L
∂Q
i
= 0
になることを第 5.1章（p.69）で示した。
ハミルトン形式の力学でも同様に運動方程式（=正準方程式）の形を変えない
座標変換がある。その変換は一般化座標の点変換を含みつつ、より一般的な（もっ
と自由な）座標変換である。
まずはそのような座標変換が不可欠となる例を挙げよう。ハミルトニアンが
以下で与えられる系を考える。
H(q, p) =
q
4
p
2
2
+
1
q
(7.2)
正準方程式は
˙q =
∂H
∂p
= q
4
p (7.3)
˙p = −
∂H
∂q
= −2q
3
p
2
+
1
q
2
(7.4)
111
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
である。この方程式を、これまでの例題で何度か使ってきた 4 次ルンゲ＝クッタ法
を使った数値積分プログラムに入れて実行すると・・・計算が破綻する！式 (7.4)
の右辺第 2 項の分母の q がゼロになったせいかではないかと思うかもしれないが、
そうではない。調べてみると q や p の値が途中で値が急に大きくなり始めて、最
終的には数値的に発散してしまっている。なぜだろうか？
解がこのように発散するのは数値計算手法に問題があるためではなく、むし
ろ正しく解けているためである。上の正準方程式の解析解は
q(t) =
1
1 −
t
2
2
であることは代入すれば分かる。この q(t) は t =
√
2 で発散する。ルンゲ=クッ
タ法のような数値積分ルーチンがいくら汎用性が高いといっても、途中で発散す
るこのような解を求めることはさすがにできない。
q
t
1
このような問題の場合、正準座標 (q, p) を座標変換して、別の正準座標 (Q, P )
で解けば数値計算をする上で何も問題は生じない。どのような座標変換をすれば
いいかについては後で紹介する。
正準座標の座標変換について一般的に考えてみよう。一般に、N 自由度系の
ハミルトニアン
H(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
)
が与えられたとき、正準変数
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
)
から別の変数
(Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
)
への座標変換を考える。いま考えているのは、ラグランジュの運動方程式の場合
の点変換［式 (7.1)］のように一般化座標 q だけを対象とした変換ではなく、一般
化座標 q と一般化運動量 p を「混ぜる」ような、座標変換
Q
i
= Q
i
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (7.5)
P
i
= P
i
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (7.6)
数値計算のための解析力学 112
7.2 正準変換の直接条件
である。この場合、ある特定の k に対する Q
k
と P
k
は、互いに共役な 2 つの座
標の対としての意味はあるにせよ、どちらが座標で、どちらが運動量か、という
区別は意味がなくなる。
この座標変換で運動方程式の形が変わらない場合を考える。つまり上の座標
変換 (7.5) と (7.6) を施しても、変換前の正準方程式正準方程式
˙q
i
=
∂H
∂p
i
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (7.7)
˙p
i
= −
∂H
∂q
i
(q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (7.8)
と同じ形の
˙
Q
i
=
∂H
∂P
i
(Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) (7.9)
˙
P
i
= −
∂H
∂Q
i
(Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) (7.10)
という正準方程式が成り立つような変換を考える。このように、正準方程式の形
を変えないような正準変数の座標変換を、正準変換という。
7.2 正準変換の直接条件
変換 (7.5) と (7.6) が正準変換であるための条件を求めよう。いま、この変換
の逆変換
q
i
= q
i
(Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) (7.11)
p
i
= p
i
(Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) (7.12)
も既知とする。
式 (7.9) の右辺を変形すると
∂H
∂P
i
=
N
j=1
∂H
∂q
j
∂q
j
∂P
i
+
N
j=1
∂H
∂p
j
∂p
j
∂P
i
= −
N
j=1
˙p
j
∂q
j
∂P
i
+
N
j=1
˙q
j
∂p
j
∂P
i
［正準方程式 (7.7) と (7.8) より］
一方、式 (7.9) の左辺は
˙
Q
i
=
N
j=1
˙p
j
∂Q
i
∂p
j
+
N
j=1
˙q
j
∂Q
i
∂q
j
である。この 2 つの式の比較と、同様な比較を式 (7.10) に施すことで以下の関係
を得る。
数値計算のための解析力学 113
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
正準変換の直接条件
∂Q
i
∂q
j
=
∂p
j
∂P
i
(7.13)
∂Q
i
∂p
j
= −
∂q
j
∂P
i
(7.14)
∂P
i
∂p
j
=
∂q
j
∂Q
i
(7.15)
∂P
i
∂q
j
= −
∂p
j
∂Q
i
(7.16)
変換 (7.5) と (7.6) が正準変換であるための必要十分条件は、上の条件 (7.13)
から (7.16) が成り立っていることである。この条件は正準変換の直接条件と呼ば
れる。
自由度が 1 の場合の直接条件は
正準変換の直接条件（1 自由度系の場合）
∂Q
∂q
=
∂p
∂P
, (7.17)
∂Q
∂p
= −
∂q
∂P
, (7.18)
∂P
∂p
=
∂q
∂Q
, (7.19)
∂P
∂q
= −
∂p
∂Q
(7.20)
である。
7.3 正準変換としての点変換
正準変換の特殊な場合として点変換がある。点変換 (7.1) が正準変換であるこ
とを 1 自由度系の場合について直接条件で確認しよう。
q が点変換のとき、q は Q のある関数 ϕ で
q = ϕ(Q) (7.21)
と書ける。すると
˙q = ϕ
′
(Q)
˙
Q (7.22)
である（プライムは微分を意味する）。q から Q への変換は ϕ の逆関数を使い
Q = ϕ
−
1
(q) (7.23)
と書ける。逆関数の微分は一般的に
d
dq
ϕ
−1
(q) =
1
ϕ
′
(ϕ
−1
(q))
(7.24)
数値計算のための解析力学 114
7.3 正準変換としての点変換
と書けることに注意しよう。これを使うと、
˙
Q =
˙q
ϕ
′
(ϕ
−1
(q))
(7.25)
を得る。ここまでが準備である。
式 (7.23) と (7.21) より、
0 =
∂Q
∂p
=
∂q
∂P
(7.26)
だから、直接条件の中の式 (7.18) は成立していることが簡単に確認できた。
次に式 (7.20) を確認する。定義より、
P =
∂
∂
˙
Q
L(q, ˙q) (7.27)
=
∂L
∂q
∂q
∂
˙
Q
+
∂L
∂ ˙q
∂ ˙q
∂
˙
Q
(7.28)
第一項は式 (7.21) よりゼロである。第二項を、p の定義式
p =
∂L
∂ ˙q
(7.29)
と、式 (7.22) を使って書き換えると
P = p ϕ
′
(Q) (7.30)
= p ϕ
′
(ϕ
−1
(q)) (7.31)
式 (7.30) から
p =
P
ϕ
′
(Q)
(7.32)
式 (7.31) より
∂P
∂q
= p
d
dq
ϕ
′
(ϕ
−1
(q))
(7.33)
= p ϕ
′′
(ϕ
−1
(q))
d
dq
ϕ
−1
(q)
(7.34)
= p ϕ
′′
(ϕ
−1
(q))
1
ϕ
′
(ϕ
−1
(q))
(7.35)
ここで式 (7.24) を使った。あとで比較するために右辺を P と Q で書いておくと、
式 (7.32) と (7.23) より
∂P
∂q
=
P ϕ
′′
(Q)
{ϕ
′
(Q)}
2
(7.36)
次に式 (7.32) より
∂p
∂Q
=
∂
∂Q
P
ϕ
′
(Q)
= −
P ϕ
′′
(Q)
{ϕ
′
(Q)}
2
(7.37)
数値計算のための解析力学 115
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
式 (7.37) と (7.36) を比較して
∂p
∂Q
= −
∂P
∂q
(7.38)
これが直接条件のうちのひとつ (7.20) である。
次に直接条件のうちの式 (7.17) を確認する。式 (7.23) と (7.24) より、
∂Q
∂q
=
1
ϕ
′
(ϕ
−1
(q))
=
1
ϕ
′
(Q)
(7.39)
また、式 (7.32) より
∂p
∂P
=
1
ϕ
′
(Q)
(7.40)
だから
∂Q
∂q
=
∂p
∂P
(7.41)
最後に式 (7.19) を確認する。式 (7.31) より
∂P
∂p
= ϕ
′
(ϕ
−1
(q)) (7.42)
式 (7.23) より
∂P
∂p
= ϕ
′
(Q) (7.43)
また、式 (7.21) より
∂q
∂Q
= ϕ
′
(Q) (7.44)
上の二つの式より
∂P
∂p
=
∂q
∂Q
(7.45)
以上で点変換が正準変換であることが確認できた。
7.4 正準変換の合成
直接条件 (7.13)–(7.16) の対称性から明らかに「正準変換の逆変換は正準変換
である」ことがわかる。
また、これらの条件式から「正準変換の合成変換は正準変換である」というこ
とも以下のように証明できる。q-p の座標から q
′
-p
′
への正準変換
(q
1
, q
2
, . . . , p
N
) ⇒ (q
′
1
, q
′
2
, . . . , p
′
N
)
と、q
′
-p
′
座標から q
′′
-p
′′
座標への正準変換
(q
′
1
, q
′
2
, . . . , p
′
N
) ⇒ (q
′′
1
, q
′′
2
, . . . , p
′′
N
)
数値計算のための解析力学 116
7.4 正準変換の合成
を合成した変換、即ち q-p の座標から q
′′
-p
′′
への変換
(q
1
, q
2
, . . . , p
N
) ⇒ (q
′′
1
, q
′′
2
, . . . , p
′′
N
)
を考える。式 (7.13) に相当する偏微分を計算すると、
∂q
′′
i
∂q
j
=
N
k=1
∂q
′′
i
∂q
′
k
∂q
′
k
∂q
j
+
N
k=1
∂q
′′
i
∂p
′
k
∂p
′
k
∂q
j
=
N
k=1
∂p
′
k
∂p
′′
i
∂p
j
∂p
′
k
+
N
k=1
−
∂q
′′
k
∂p
′
i
−
∂p
′
j
∂q
k
=
∂p
j
∂p
′′
i
(7.46)
である。同様な計算を行いまとめると、結局
∂q
′′
i
∂q
j
=
∂p
j
∂p
′′
i
,
∂q
′′
i
∂p
j
= −
∂q
j
∂p
′′
i
,
∂p
′′
i
∂p
j
=
∂q
j
∂q
′′
i
,
∂p
′′
i
∂q
j
= −
∂p
j
∂q
′′
i
(7.47)
が得られる。これは、q-p の座標から q
′′
-p
′′
への変換が正準変換であることの直
接条件である。
正準変換の例 最初の例に戻ろう。ハミルトニアン (7.2) をここに再掲する。
H(q, p) =
q
4
p
2
2
+
1
q
(7.48)
このハミルトニアンの正準変数 (q, p) を別の座標に
(q, p) ⇒ (Q, P )
と変換しよう。ここでは具体的に
Q = Q(q, p) = q
2
p (7.49)
P = P (q, p) = 1/q (7.50)
という変換を考える。これは正準変換である。確認してみよう。
この変換の逆は
q = q(Q, P ) = 1/P (7.51)
p = p(Q, P ) = QP
2
(7.52)
であることはすぐにわかる。式 (7.49) から
∂Q
∂p
= q
2
数値計算のための解析力学 117
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
一方、式 (7.49) より
∂q
∂P
= −1/P
2
= −q
2
つまり
∂Q
∂p
= −
∂q
∂P
である。同様な計算によって正準変換の直接条件 (7.17)–(7.18) が全て成り立って
いることが確認できる。つまりこの変換 (7.49) と (7.50) は正準変換である。
(Q, P ) への変換は正準変換なので、正準方程式が成り立つ。ハミルトニアン
はこの新しい正準変数の下、
H(Q, P ) =
q
4
(Q, P )p
2
(Q, P )
2
+
1
q
(
Q, P
)
=
Q
2
2
+ P (7.53)
なので、正準方程式は
˙
Q =
∂H
∂P
= 1
˙
P = −
∂H
∂Q
= −Q
である。この微分方程式は数値計算しても全く問題ない（実際には手で解けるが）。
7.5 母関数
直接条件 (7.13) から (7.16) を満足するような変換を作るのは結構大変である。
式 (7.49) と (7.50) のような変換をどうやって思いついたのであろうか。母関数を
使い、直接条件を自動的に満足するような（つまり正準変換になるような）変換
を系統的に構成する方法が開発されている。
q と Q の関数
W (q, Q) (7.54)
を母関数として
P = −
∂W
∂Q
(q, Q) (7.55)
p =
∂W
∂q
(7.56)
という 2 つの式から
(q, p) ⇒ (Q, P )
という座標変換が定義できる。この変換は正準変換になる。
母関数には式 (7.54) 以外にも
W (q, P )
数値計算のための解析力学 118
7.5 母関数
W (p, Q)
W (p, P )
という型があり、それぞれ正準変換を定義する母関数の微分の仕方が異なるが、
ここでは深入りしない。
式 (7.55) と (7.56) で定義される変換が正準変換であることは以下のようにし
て確認できる。
まず、独立変数を q と p としてこの 2 つの式を見ると、
P (q, p) = −
∂W
∂Q
(q, Q(q, p))
p =
∂W
∂q
(q, Q(q, p))
となる。この 2 つの式を q と p で偏微分すると以下の 4 つの式を得る。
∂P
∂q
= −
∂
2
W
∂q∂Q
−
∂
2
W
∂Q
2
∂Q
∂q
∂P
∂p
= −
∂
2
W
∂∂Q
2
∂Q
∂p
0 =
∂
2
W
∂q
2
+
∂
2
W
∂q∂Q
∂Q
∂q
1 =
∂
2
W
∂q∂Q
∂Q
∂p
この連立方程式を解くと、
∂Q
∂q
∂Q
∂p
∂P
∂q
∂P
∂p
=
1
∂
2
W
∂q∂Q
−
∂
2
W
∂q
2
1
∂
2
W
∂Q
2
∂
2
W
∂q
2
−
∂
2
W
∂q∂Q
2
−
∂
2
W
∂Q
2
(7.57)
を得る。
次に独立変数を Q と P にとって式 (7.55) と (7.56) を見ると、
P = −
∂W
∂Q
(q(Q, P ), Q)
p(Q, P ) =
∂W
∂q
(q(Q, P ), Q)
である。この式を今度は Q と P で偏微分すれば同様に連立方程式が得られる。そ
の解は
∂q
∂Q
∂q
∂P
∂p
∂Q
∂p
∂P
=
1
∂
2
W
∂q∂Q
−
∂
2
W
∂Q
2
−1
∂
2
W
∂Q
2
∂
2
W
∂q
2
−
∂
2
W
∂q∂Q
2
−
∂
2
W
∂q
2
(7.58)
数値計算のための解析力学 119
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
である。
式 (7.57)
と
(7.58)
を比較すると、正準変換であるための直接条件
(7.17)–(7.20)
が成り立っていることがわかる。
N 自由度の系に対しては母関数
W (q
1
, . . . , q
N
, Q
1
, . . . , Q
N
) (7.59)
から
P
i
= −
∂W
∂Q
(7.60)
p
i
=
∂W
∂q
(7.61)
によって生成される変換は正準変換となる。
21
q
1
q
2
正準変換の例 2 以前考えた問題をもう一度取り上げよう。質量 m の質点が二つ
の同心円（半径 1 と半径 2）の上を滑らかに滑る。二つの質点の間がバネ（バネ
定数は k、自然長は 0）でつながれているものとする。二つの円の中心を原点に
とり、x 軸からの角度 q
1
と q
2
を正準座標、p
1
= m ˙q
1
と p
2
= 4m ˙q
2
を正準運動
量とすると、この系のハミルトニアンは以前も書いたが再掲すると、
H(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) =
p
2
1
2m
+
p
2
2
8m
− 2k cos (q
1
− q
2
) (7.62)
数値計算のための解析力学 120
7.5 母関数
である。この正準座標 (q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) を、母関数
W (q
1
, q
2
, Q
1
, Q
2
) = (q
2
− q
1
)Q
1
− (q
1
+ q
2
)Q
2
(7.63)
を使って正準変換してみよう。
P
1
= −
∂W
∂Q
1
= q
1
− q
2
(7.64)
P
2
= −
∂W
∂Q
2
= q
1
+ q
2
(7.65)
p
1
=
∂W
∂p
1
= −(Q
1
+ Q
2
) (7.66)
p
2
=
∂W
∂p
2
= Q
1
− Q
2
(7.67)
から、これを整理すると
Q
1
= Q
1
(q, p) = −
1
2
(p
1
− p
2
) (7.68)
Q
2
= Q
2
(q, p) = −
1
2
(p
1
+ p
2
) (7.69)
P
1
= P
1
(q, p) = q
1
− q
2
(7.70)
P
2
= P
2
(q, p) = q
1
+ q
2
(7.71)
あるいは
q
1
= q
1
(Q, P ) =
1
2
(P
1
+ P
2
) (7.72)
q
2
= q
2
(Q, P ) = −
1
2
(P
1
− P
2
) (7.73)
p
1
= p
1
(Q, P ) = −(Q
1
+ Q
2
) (7.74)
p
2
= p
2
(Q, P ) = Q
1
− Q
2
(7.75)
である。新しい正準座標 (Q
1
, Q
2
, P
1
, P
2
) で書いたハミルトニアンは式 (7.62) より
H
(
q
(
Q, P
)
, p
(
Q, P
)) =
···
=
5
8m
(
Q
2
1
+ Q
2
2
) +
1
2m
Q
1
Q
2
−
2
k
cos
P
1
つまり
H(Q, P ) =
5
8m
(Q
2
1
+ Q
2
2
) +
1
2m
Q
1
Q
2
− 2k cos P
1
(7.76)
である。このハミルトニアンから正準方程式を作ると、
˙
Q
1
= 2k sin P
1
(7.77)
˙
Q
2
= 0 (7.78)
˙
P
1
=
−
5
4m
Q
1
−
1
2m
Q
2
(7.79)
˙
P
2
= −
5
4m
Q
2
−
1
2m
Q
1
(7.80)
数値計算のための解析力学 121
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
式 (7.78) から
Q
2
= c (定数) (7.81)
であることがわかるので、これを使えば解くべき正準方程式は、
˙
Q
1
= 2k sin P
1
(7.82)
˙
P
1
= −
5
4m
Q
1
−
c
2m
(7.83)
˙
P
2
= −
5c
4m
−
1
2m
Q
1
(7.84)
と 1 つ減る。特に初期条件で c = 0 の場合には
˙
Q
1
= 2k sin P
1
(7.85)
˙
P
1
= −
5
4m
Q
1
(7.86)
˙
P
2
= −
1
2m
Q
1
(7.87)
と簡単になる。
例によってこの常微分方程式系を数値積分プログラムに渡すことは簡単だが、
数値的に解かなくてもわかること、あるいは数値的に解くだけでは分からないこ
とがある。
上の式 (7.85) と (7.86) は、振り子の運動方程式と同じである。P
1
が振り子の
ふれ角に対応する。
つまり、P
1
= 0 が安定な平衡点であり、初期速度が小さければそこで微小振
動（調和振動）をする。初期速度が大きければ振幅が大きな振動となり、ある値
よりも大きな初期速度を与えると、同じ方向に回る回転運動が周期的に続く。
c = Q
2
= 0 は、(7.69) より p
1
+ p
2
= 0 を意味する。初期条件でこの和がちょ
うどゼロになるような初期速度 ˙q
1
と ˙q
2
を与えると、この p
1
+ p
2
はゼロの値を
保ち続ける。つまり保存する。
Q
2
= 0 という特殊な初期条件でなくても、この系では Q
2
∝ p
1
+ p
2
は常に一
定である［式 (7.81)］。（p
1
+ p
2
は 2 つの質点の角運動量の和である。）ハミルトニ
アンが (7.62) として与えられたこの系に対して、正準方程式を立て、それを数値
的に積分して可視化することは容易であるが、その可視化画像をみても、p
1
+ p
2
が厳密に保存することを見抜くのは難しいであろう。一方、正準変換したハミル
トニアン (7.76) には P
2
が含まれないことから、Q
2
が保存量であること（つまり
˙
Q
2
= 0）が一目でわかる。数値積分は決して万能ではない。理論と数値計算を相
補的に組み合わせることが大事である。
数値計算のための解析力学 122
7.6 シンプレクティック条件
7.6 シンプレクティック条件
N 自由度系を考える。ある時刻の状態を 2N 次元の相空間中の点 r で表す。
r =
q
1
q
2
.
.
.
q
N
p
1
p
2
.
.
.
p
N
, つまり r
i
=
q
i
(1 ≤ i ≤ N)
p
i−N
(N < i ≤ 2N)
すると、ハミルトニアンを H とすれば、正準方程式は以下のように一行で書ける。
シンプレクティック記法による正準方程式
˙r
i
=
2N
j=1
J
ij
∂H
∂r
j
(7.88)
ここで行列 J は
J =
0 1
−1 0
(7.89)
と定義される。0 と 1 は N 行 N 列のゼロ行列と単位行列である。方程式 (7.88)
を正準方程式のシンプレクティック記法と言う。
J が満たす基本的な関係をまとめておこう。以下 J
T
は J の転置行列、J
−1
は J の逆行列である。
J
T
=
0 −1
1 0
(7.90)
JJ
T
= J
T
J = 1 =
1 0
0 1
(7.91)
J
T
= −J = J
−1
(7.92)
J
2
= −1 (7.93)
|J| = 1 (7.94)
さて、r があらわす力学状態を、正準変換した別の座標 R を使って書こう。つ
まり
R
i
=
Q
i
(1 ≤ i ≤ N)
P
i−N
(N < i ≤ 2N)
数値計算のための解析力学 123
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
である。この座標系での正準方程式は
˙
R
i
=
2N
j=1
J
ij
∂H
∂R
j
(7.95)
と書ける。
式 (7.95) の左辺を書き換えると
˙
R
i
=
2N
m=1
∂R
i
∂r
m
˙r
m
(7.96)
=
2N
m=1
2N
k=1
∂R
i
∂r
m
J
mk
∂H
∂r
k
［(7.88) より］ (7.97)
=
2N
m=1
2N
k=1
2N
j=1
∂R
i
∂r
m
J
mk
∂R
j
∂r
k
∂H
∂R
j
(7.98)
これと式 (7.95) の右辺を比較すれば
MJ M
T
= J (7.99)
を得る。ここで行列 M は
M
ij
=
∂R
i
∂r
j
(7.100)
M
T
はその転置行列
M
T
ij
=
∂R
j
∂r
i
(7.101)
である。M はシンプレクティック行列と呼ばれる。
式 (7.93) と式 (7.99) より
M
T
JM = J (7.102)
である。
式 (7.99) またはそれと同等な (7.102) は正準変換に対する必要十分条件であ
り、シンプレクティック条件と呼ばれる。
7.7 ポアッソン括弧
ここでポアッソン括弧とよばれる
{f, g}
q,p
=
N
j=1
∂f
∂q
j
∂g
∂p
j
−
∂g
∂q
j
∂f
∂p
j
(7.103)
数値計算のための解析力学 124
7.7 ポアッソン括弧
を定義しよう。ここで f と g は相空間の関数である。ポアッソン括弧を行列 J を
使って表現すると
{f, g}
q,p
=
2N
i=1
2N
j=1
∂f
∂r
i
J
ij
∂g
∂r
j
(7.104)
である。後で示すようにポアッソン括弧はどの正準座標をとっても同じ値になる
ので以下では下付添え字の
q,p
を省略する。
ポアッソン括弧
{f, g} =
N
j=1
∂f
∂q
j
∂g
∂p
j
−
∂g
∂q
j
∂f
∂p
j
(7.105)
式 (7.99) は 2N × 2N 個の方程式を表し、その式の右辺は 0 または 1 または
−1 の値を持つ。M と J の定義に従ってこの 4N
2
個の式を具体的に書くと、ポ
アッソン括弧を使って次のような 4 つのグループに分けて書くことができる。
{Q
i
, Q
j
} = 0 (7.106)
{P
i
, P
j
} = 0 (7.107)
{Q
i
, P
j
} = δ
ij
(7.108)
{P
i
, Q
j
} = −δ
ij
(7.109)
ここでいくつかポアッソン括弧の性質を見てみよう。
定義 (7.103) から
{g, f} = −{f, g} (7.110)
{f, f} = 0 (7.111)
は自明である。
c, c
1
,c
2
を定数として
{c
1
f
1
+ c
2
f
2
, g} = c
1
{f
1
, g} + c
2
{f
2
, g} (7.112)
{f, c
1
g
1
+ c
2
g
2
} = c
1
{f, g
1
} + c
2
{f, g
2
} (7.113)
{c, g} = 0 (7.114)
{f, c} = 0 (7.115)
が成り立つ。
次の式は ∂q
i
/∂q
j
= δ
ij
等の関係を使えば確認できる。
{q
i
, f} =
∂f
∂p
i
(7.116)
{p
i
, f} = −
∂f
∂q
i
(7.117)
数値計算のための解析力学 125
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
上の二つの式から以下の式が成り立つ。
q
i
,
∂f
∂q
j
+
p
j
,
∂f
∂p
i
= 0 (7.118)
また、式 (7.116) と (7.117) の特別な場合として、
{q
i
, q
j
} = 0 (7.119)
{q
i
, p
j
} = δ
ij
(7.120)
{p
i
, p
j
} = 0 (7.121)
という関係が得られる。
相空間の 3 つの関数 f , g, h に対するポアッソン括弧にはヤコビ恒等式と呼ば
れる以下の式が成り立つ。
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 (7.122)
この証明には以下のようにするのが最も簡潔であろう。
【以下では繰り返された添え字は 1 から 2N までの和をとるものとする。】
式 (7.104) より
式 (7.122) の左辺 =
∂f
∂r
i
J
ij
∂
∂r
j
∂g
∂r
ℓ
J
ℓm
∂h
∂r
m
+
∂g
∂r
ℓ
J
ℓj
∂
∂r
j
∂h
∂r
m
J
mi
∂f
∂r
i
+
∂h
∂r
m
J
mj
∂
∂r
j
∂f
∂r
i
J
iℓ
∂g
∂r
ℓ
=
∂f
∂r
i
∂g
∂r
ℓ
∂
2
h
∂r
j
∂r
m
(J
ij
J
ℓm
+ J
ℓj
J
mi
)
(a)
+
∂f
∂r
i
∂h
∂r
m
∂
2
g
∂r
j
∂r
ℓ
(J
ij
J
ℓm
+ J
mj
J
iℓ
)
+
∂g
∂r
ℓ
∂h
∂r
m
∂
2
f
∂r
j
∂r
i
(J
ℓj
J
mi
+ J
mj
J
iℓ
) (7.123)
ここで
(a) =
∂
2
h
∂r
j
∂r
m
J
ij
J
ℓm
+
∂
2
h
∂r
m
∂r
j
J
ℓm
J
ji
［第 2 項の j と m を交換］
=
∂
2
h
∂r
j
∂r
m
J
ij
J
ℓm
−
∂
2
h
∂r
m
∂r
j
J
ℓm
J
ij
［式 (7.92) より］
= 0
数値計算のための解析力学 126
7.8 ポアッソン括弧を使った運動方程式
式 (7.123) の他の 2 項も同様である。従って (7.122) が成り立つ。
式 (7.109) は (7.110) を考えると冗長なので、結局、座標変換 (q
1
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , P
N
)
から (Q
1
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) への座標変換が正準変換かどうかは、
ポアッソン括弧による正準変換条件
{Q
i
, Q
j
} = 0 (7.124)
{P
i
, P
j
} = 0 (7.125)
{Q
i
, P
j
} = δ
ij
(7.126)
の 3 つが成り立っているかどうかを確認すれば良いことがわかる。
ポアッソン括弧を使って正準変換かどうかを判定をする際には
Q
i
=Q
i
(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
), (7.127)
P
i
=P
i
(q
1
, q
2
, . . . , q
N
, p
1
, . . . , p
N
) (7.128)
という変換の関数形が分かっていれば、その逆
q
i
=q
i
(Q
1
, Q
2
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
), (7.129)
p
i
=p
i
(Q
1
, Q
2
, . . . , Q
N
, P
1
, . . . , P
N
) (7.130)
がわかっていなくても判定できることに注意しよう。この点で正準変換の直接条
件よりも便利と言える。（とはいえ、ハミルトニアンを変換する際にはいずれにせ
よ逆変換の表式が必要となるが。）
7.8 ポアッソン括弧を使った運動方程式
ポアッソン括弧を使うと様々な量が簡潔に表現される。たとえばある物理量
f が位相空間の関数で、時間に陽には依存しないとき、
df
dt
=
N
j=1
∂f
∂q
j
˙q
j
+
∂f
∂p
j
˙p
j
=
N
j=1
∂f
∂q
j
∂H
∂p
j
−
∂f
∂p
j
∂H
∂q
j
= {f, H} (7.131)
である。f が時間に陽に依存する場合は
df
dt
=
∂f
∂t
+ {f, H} (7.132)
となる。
式 (7.131) の f に（時間に陽に依存しない）ハミルトニアン H を代入すると、
dH
dt
= {H, H} = 0 ［式 (7.111) より］ (7.133)
数値計算のための解析力学 127
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
これはエネルギー保存を意味する。
f と g がどちらも保存量であれば、ポアッソン括弧 {f, g} も保存量である。な
ぜなら定義式 (7.103) より
d
dt
{f, g} =
˙
f, g
+ {f, ˙g} (7.134)
なので、
˙
f = ˙g = 0 の時
d
dt
{f, g} = {0, g} + {f, 0} = 0 (7.135)
だからである。この式はヤコビ恒等式 (7.122) を使っても証明できる。
式 (7.131) において f = q
i
と f = p
i
の場合には
ポアッソン括弧よる正準方程式
˙q
i
= {q
i
, H} (7.136)
˙p
i
= {p
i
, H} (7.137)
を得る。これはもとの正準方程式をわざわざポアッソン括弧で書き直したにすぎ
ないが、こう書くと 2 つの式がどちらも同じ形式になる。このことが次回紹介す
るシンプレクティック積分法において重要になる。
7.9 ポアッソン括弧の正準変換不変性
式 (7.131) の右辺は正準座標 (q
1
, . . . p
N
) の空間偏微分であるが、左辺は時間
微分だけなので、この量 df /dt は、正準変換した別の座標 (Q
1
, . . . P
N
) でみても
同じはずである。つまり、
{f(q, p), H(q, p)}
q,p
=
N
j=1
∂f
∂q
j
∂H
∂p
j
−
∂H
∂q
j
∂g
∂p
j
(7.138)
と
{f(Q, P ), H(Q, P )}
Q,P
=
N
j=1
∂f
∂Q
j
∂H
∂P
j
−
∂H
∂Q
j
∂g
∂P
j
(7.139)
は同じ
{f, H}
q,p
= {f, H}
Q,P
(7.140)
である。
上の関係は一方が H であるときに限らず、もっと一般に任意の関数 f と g に
対して
{f, g}
q,p
= {f, g}
Q,P
(7.141)
数値計算のための解析力学 128
7.10 正準変換としての運動
であることが以下のようにして証明できる。式 (7.104) より
{f, g}
q,p
=
2N
i=1
2N
j=1
∂f
∂r
i
J
ij
∂g
∂r
j
=
2N
i=1
2N
j=1
2N
I=1
2N
J=1
∂f
∂R
I
∂R
I
∂r
i
J
ij
∂g
∂R
J
∂R
J
∂r
j
=
2N
i=1
2N
j=1
2N
I=1
2N
J=1
∂f
∂R
I
∂R
I
∂r
i
J
ij
∂R
J
∂r
j
∂g
∂R
J
=
2N
I=1
2N
J=1
∂f
∂R
I
J
IJ
∂g
∂J
［式 (7.99) より］
= {f, g}
Q,P
(7.142)
つまりポアッソン括弧で書かれた全ての量は正準変換に対して不変である。だか
らポアッソン括弧に微分をとる座標を示す添字をいちいちつける必要はない。
7.10 正準変換としての運動
q
p
t = 0
t = T
ある時刻 t = 0 で系の状態が r = ( q
1
(0), q
2
(0), . . . , p
N
(0)) にあるとする。時間
が経過して t = T になったときの状態は相空間中の別の点 R = (q
1
(T ), q
2
(T ), . . . , p
N
(T ))
に移る。これを座標
r = (q
1
, q
2
, . . . , p
N
) = (q
1
(0), q
2
(0), . . . , p
N
(0)) (7.143)
から座標
R = (Q
1
, Q
2
, . . . , Q
N
) = (q
1
(T ), q
2
(T ), . . . , p
N
(T )) (7.144)
数値計算のための解析力学 129
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
への座標変換 r ⇒ R と考えてみよう。運動で結びついているので明らかに r と
R は全単射である。この変換は正準変換であろうか？ポアッソン括弧による判定
条件 (7.124)–(7.126) を使って正準変換であるかどうかを判定しよう。時間の関数
{q
i
(t), p
j
(t)} をテーラー展開すると、
{Q
i
, P
j
} = {q
i
(T ), p(T )} (7.145)
= {q
i
, p
j
}|
t=0
+
T
1
d
dt
{q
i
, p
j
}
t=0
+
T
2
2!
d
2
dt
2
{q
i
, p
j
}
t=0
(7.146)
+
T
3
3!
d
3
dt
3
{q
i
, p
j
}
t=0
+ ··· (7.147)
式 (7.131) の f = {q
i
, p
j
}の場合と考えれば、右辺第 2 項は、式 (7.120) を使って、
d
dt
{q
i
(t), p
j
(t)}
t=0
= {{q
i
(t), p
j
(t)}, H}|
t=0
= {{q
i
, p
j
}, H} = {δ
ij
, H} = 0
(7.148)
ここで最後の等式では式 (7.114) を使った。同様に
d
2
dt
2
{q
i
, p
j
}
t=0
= {{{q
i
, p
j
}, H}, H} = {0, H} = 0 (7.149)
d
3
dt
3
{q
i
, p
j
}
t=0
= {{{{q
i
, p
j
}, H}, H}, H} = 0 (7.150)
等が成り立つ。従って
{Q
i
, P
j
} = {q
i
(0), p
j
(0)} = {q
i
, p
j
} = δ
ij
(7.151)
である。同様に
{Q
i
, Q
j
} = 0 (7.152)
{P
i
, P
j
} = 0 (7.153)
が確認できる。従って r ⇒ R の変換は正準変換であることが示された。運動は正準変換
なのである。
7.11 無限小正準変換
ある正準変換
q
i
p
i
⇒
Q
i
P
i
=
q
i
p
i
+
δq
i
δp
i
(7.154)
が恒等変換にほとんど等しい場合を考える。恒等変換からの差は小さく、その 2
次以上の項を無視する。このような変換を無限小正準変換という。
数値計算のための解析力学 130
7.11 無限小正準変換
ϵ を微小量とすると、ある関数 G(q
1
, q
2
, ··· , q
N
, p
1
, p
2
, . . . p
N
) から次のように
定義される変換
δq
i
= ϵ {q
i
, G} = ϵ
∂G
∂p
i
(7.155)
δp
i
= ϵ {p
i
, G} = −ϵ
∂G
∂q
i
(7.156)
は正準変換である。G をこの無限小正準変換の生成子という。
変換 (7.155), (7.156) が正準変換であることは条件 (7.124)–(7.126) を使って
以下のようにして確認できる。まず式 (7.124) から、
{Q
i
, Q
j
} = {q
i
+ δq
i
, q
j
+ δq
j
} (7.157)
= {q
i
, q
j
} + {q
i
, δq
j
} + {δq
i
, q
j
} + {δq
i
, δq
j
} (7.158)
= 0 + {q
i
, δq
j
} + {δq
i
, q
j
} + 0 (7.159)
最初の項は式 (7.119) よりゼロ、最後の項は 2 次の微少量なのでゼロになる。式
(7.155) より
{q
i
, δq
j
} + {δq
i
, q
j
} = ϵ {q
i
, {q
j
, G}} + ϵ {{q
i
, G}, q
j
} (7.160)
=
ϵ
[
{
q
i
,
{
q
j
, G
}}
+
{
q
j
,
{
G, q
i
}}
] (7.161)
= −ϵ {G, {q
i
, q
j
}} ［ヤコビ恒等式 (7.122) より］ (7.162)
= 0 ［式 (7.119) より］ (7.163)
つまり
{Q
i
, Q
j
} = 0 (7.164)
である。同様にして式 (7.125) と、式 (7.126) も確認できる。
G で生成される無限小正準変換で、一般に物理量 f(q
1
, q
2
, . . . , p
N
) は
δf = ϵ {f, G} (7.165)
だけ変化する。なぜならテーラー展開により、
δf = f(q
1
+ δq
1
, q
2
+ δq
2
, . . . , p
N
+ δp
N
) −f(q
1
, q
2
, . . . p
N
) (7.166)
=
N
j=1
∂f
∂q
j
δq
j
+
∂f
∂p
j
δp
j
(7.167)
= ϵ
N
j=1
∂f
∂q
j
∂G
∂p
j
−
∂f
∂p
j
∂G
∂q
j
(7.168)
= ϵ {f, G} (7.169)
だからである。
生成子 G の簡単な例は、ある k について
G = p
k
(7.170)
数値計算のための解析力学 131
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
である。このとき
q
i
⇒ q
i
+ δq
i
= q
i
+ ϵ
∂G
∂p
i
= q
i
+ ϵδ
ik
(7.171)
p
i
⇒ p
i
+ δp
i
= p
i
(7.172)
これは k 番目の正準座標 q
k
だけを ϵ ほどずらす無限小正準変換である。
7.12 不変性と保存則
ポアッソン括弧の威力の一つは対称性と保存則の関係がほとんど自明になる
点である。ある無限小正準変換に対してハミルトニアン H が不変のとき、その生
成子 G は保存する。なぜならこのとき、式 (7.165) より、この変換によるハミル
トニアンの変化量は
δH = ϵ {H, G} = 0 (7.173)
で、一方、式 (7.131) より
dG
dt
= {G, H} = −{H, G} (7.174)
なので
dG
dt
= 0 (7.175)
である。
一般に、ある変換に対してハミルトニアンが不変なとき、その変換に対して
ハミルトニアンは対称であるという。対称性という表現を使えば、
対称性と保存則
生成子が G の無限小正準変換についてハミルトニアンが対称ならば G は保
存量である。
といえる。
例えば、ハミルトニアン H の中で q
k
があらわれない（つまり循環座標）であ
れば、無限小正準変換 (7.171) と (7.172) で H は当然不変なので、この変換の生
成子 (7.170) は保存する。つまり
˙p
k
= 0 (7.176)
である。
系の平行移動と運動量 N 自由度の系全体をカーテシアン座標系 (X
1
, X
2
, X
3
) を
設定して観察する。系全体を座標軸 X
α
の方向に微小な距離 ϵ だけ移動させても
（原点を −ϵ だけ平行移動しても）運動の記述、つまり運動方程式が変わらないと
する。平行移動は点変換なので正準変換である（第 7.3章参照）。このときハミル
数値計算のための解析力学 132
7.12 不変性と保存則
トニアンはこの無限小正準変換について対称としてよい。この変換の生成子（＝
保存量）は全運動量
G
α
(q
1
, q
2
, . . . , p
N
) =
N
j=1
p
j
∂q
i
∂X
α
(7.177)
である。一般化座標は
δq
i
= ϵ {q
i
, G} = ϵ
∂q
i
∂X
α
(7.178)
という変換を受ける
∗
。この平行移動変換［式 (5.65)］と保存則の関係はラグラン
ジュ形式（p.77）でも見た。
系の回転と角運動量 ある単位ベクトル ω = (ω
1
, ω
2
, ω
3
) を軸として系全体を回
転して観察しても運動方程式が変わらない場合、ω を軸とし、微小な角度 ϵ だけ
系を回転する無限小正準変換に対してハミルトニアンは対称である。この対称性
に対応する保存量は、
G(ω) =
3
α=1
3
β=1
3
γ=1
N
j=1
ω
β
ϵ
βγα
X
γ
(q
j
)p
j
∂q
j
∂X
α
(7.179)
である。これは ω を軸とする全角運動量である。この保存量から生成される一般
化座標の変換は既に式 (5.77) で見たが、
δq
i
= ϵ {q
i
, G} = ϵ
3
α=1
3
β=1
3
γ=1
ω
β
ϵ
βγα
X
γ
(q
i
)
∂q
i
∂X
α
(7.180)
である。
式 (5.72) で定義した運動量
Y
j
α
= p
j
∂q
j
∂X
α
(7.181)
を使って書き換えると、
G(ω) = ω ·
N
j=1
X(q
j
) ×Y
j
(7.182)
系に特別な方向がなければ任意の回転軸 ω に対して G(ω) が保存するので、式
(7.182) より、全角運動量保存則
N
j=1
X(q
j
) ×y
j
(7.183)
を得る。
∗
p
i
は式 (7.156) に従って複雑な変換を受けるが、具体的な形は今は関係ない。最終的なハミルト
ニアン H が変わらないことが分かっているという前提が重要である。
数値計算のための解析力学 133
第 7 章 正準変換とポアッソン括弧
7.13 数値積分と正準変換
数値積分法を使って力学の問題を解く場合を考える。正準方程式
˙q
i
=
∂H
∂p
i
(7.184)
˙p
i
= −
∂H
∂q
i
(7.185)
を陽的 1 次オイラー法で解いたとしよう。
ある時刻 t = t
n
にこの系が r = (q
1
, q
2
, . . . , p
N
) = (q
n
1
, q
n
2
, . . . , p
n
N
) にいたと
し、時間刻み ∆t で 1 ステップだけ数値積分すると、
Q
i
= q
i
(t + ∆t) = q
n+1
i
= q
n
i
+ ∆t
∂H
∂p
i
(r
n
) (7.186)
P
i
= p
i
(t + ∆t) = p
n+1
i
= p
n
i
− ∆t
∂H
∂q
i
(r
n
) (7.187)
従って新しい時刻 t = t
n+1
= t
n
+ ∆t における状態は R = (Q
1
, Q
2
, . . . , P
N
) =
(q
n+1
1
, q
n+1
2
, . . . , p
n+1
N
) となる。
数値積分によって相空間上の点 r が R に移されたわけであるが、これは正準
変換になっているであろうか？ポアッソン括弧を使って確認してみよう。
{Q
i
, P
j
} =
q
i
+ ∆t
∂H
∂p
i
, p
j
− ∆t
∂H
∂q
j
= {q
i
, p
j
} −∆t
q
i
,
∂H
∂q
j
+ ∆t
∂H
∂p
i
, p
j
− ∆t
2
∂H
∂p
i
,
∂H
∂q
j
ここで右辺第 2 項と第 3 項は式 (7.118) からキャンセルするので、結局
{Q
i
, P
j
} = δ
ij
− ∆t
2
∂H
∂p
i
,
∂H
∂q
j
(7.188)
正準変換であればこの式の右辺は δ
ij
のはずであるが、右辺第 2 項は一般にはゼ
ロではない。
上の式は、一ステップで O(∆t
2
) の誤差が生じることを意味する。たとえば
t = 0 から t = T まで数値積分すると、全部で T/∆t 回積分するので、誤差は最
大 O(∆t
2
) ×(T/∆t) = O(∆t) だけ蓄積する。
ある力学の系を陽的 1 次オイラー法によって数値的に積分して得られた解は、
本来の満たすべき「運動は正準変換である」という重要な性質を破ってしまって
いることになる。
7.14 練習問題: レポート課題
正準座標 (q, p) の変換 (q, p) ⇒ (Q, P ) = (q cos ϕ + p sin ϕ, −q sin ϕ + p cos ϕ)
は正準変換か（ϕ は定数）？
数値計算のための解析力学 134
7.14 練習問題: レポート課題
【ヒント】正準変換の直接条件 (7.17)–(7.20) をすべて満たしていれば正準変換で
ある。あるいは、ポアッソン括弧による判定条件 (7.124)–(7.126) で確認しても
よい。
【提出方法】次回の講義にて提出。学籍番号と名前を忘れずに！
解答例 1 正準変換の直接条件による証明。
(Q, P ) = (q cos ϕ + p sin ϕ, −q sin ϕ + p cos ϕ) (7.189)
の逆変換は
(q, p) = (Q cos ϕ − P sin ϕ, Q sin ϕ + P cos ϕ) (7.190)
である。微分して
(i)
∂Q
∂q
= cos ϕ
(ii)
∂p
∂P
= cos ϕ
従って式 (7.17) が成り立つ。他の式 (7.18)–(7.20) も同様。
解答例 2 ポアッソン括弧による証明。式 (7.111) より
{Q, Q} = {P, P } = 0 (7.191)
は計算するまでもない。次に
{Q, P } =
∂Q
∂q
∂P
∂p
−
∂P
∂q
∂Q
∂p
(7.192)
= (cos ϕ) (cos ϕ) −(−sin ϕ) (sin ϕ) (7.193)
= 1 (7.194)
自由度 N = 1 のときの条件 (7.124)–(7.126) が成り立つので、これは正準変換で
ある。
数値計算のための解析力学 135
Chapter 8
ハミルトンの原理
今回の内容
/// レポート回収
/// 先週の復習
§7 ハミルトンの原理
137
第 8 章 ハミルトンの原理
この講義の出発点は、ラグランジアンが
L(q
1
, q
2
, ··· , q
N
, ˙q
1
, ˙q
2
, ··· , ˙q
N
)
で記述される系の運動方程式が
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0 (i = 1, 2, ··· , N)
で与えられるという事実であった。今回はこのラグランジュの運動方程式の起源
を説明する。
8.1 汎関数と変分法
実関数は「実数に実数が対応する」写像であるのに対して、「関数に実数が対
応する」写像が汎関数である。
例１：ライフガード問題 海岸から離れたところに立っているあなたが、斜め前
方の海におぼれている人を見つけた。どうすればもっとも早くたどり着けるであ
ろうか？陸の上を走る速さ V
1
海の中を泳ぐ速さ V
2
がそれぞれ一定とし、図のよ
うに座標をとるとおぼれている人のところまでたどり着くのにかかる時間 T はあ
なたが描く軌跡 y = y(x) の汎関数である。V
1
= V
2
（つまり走る速さ＝泳ぐ速さ）
の場合、T を最小にする y(x) は直線であることは自明であろう。では V
1
̸= V
2
の
場合はどうであろうか？
x
y
例 2：最速降下線 下図のように座標 x, y をとり、原点 (0, 0) と座標 (a, A) を通
る曲線 y = y(x) を考える。下向き（+y 方向）の重力（重力加速度 g）を考え、原
点から初速ゼロで出発して、この曲線を坂道 y(x) のように滑りおりる質点（質
数値計算のための解析力学 138
8.1 汎関数と変分法
量 m）が終点 (a, A) まで滑りきるのにかかる時間を T とする。T も汎関数の例
である。
a
y
y=y(x)
原点を出発点にとり、曲線 y = y(x) に沿って長さを s とすると、エネルギー
の保存から
m
2
˙s
2
− mgy(s) = 0 (8.1)
である。従って
˙s =
2gy(s) (8.2)
微小な距離 ∆s を通過するのにかかる微小時間を ∆t とすると、
∆t =
∆s
˙s
(8.3)
=
∆s
√
2gy
(8.4)
=
1 + (y
′
)
2
√
2gy
∆x (8.5)
従って、
T =
1
√
2g
a
0
1 + (y
′
)
2
√
y
dx (8.6)
となる。T を最小にする関数形 y(x) を最速降下線と言う。ただし、y(0) と y(a)
は固定する。定数倍は関係ないから、最速降下線とは汎関数
T (y, y
′
) =
a
0
1 + (y
′
)
2
√
y
dx (8.7)
を最小にする曲線 y(x) である。
数値計算のための解析力学 139
第 8 章 ハミルトンの原理
摩擦のない世界では、エネルギーを全く使わずに水平移動することができる。
2 地点を地下で結ぶ曲線状のトンネルを掘れば良い。急いでいる人たちのために
は、その曲線の形が最速降下線にするのが良い。
後で述べる変分法を使えば、最速降下線を具体的に求めることができる。そ
の答えはサイクロイドである。
例 3：極小曲面 曲線 y = y(x) (0 ≤ x ≤ a) を x 軸のまわりに回転してできる
曲面の面積 S[y] を考えよう。
a
y
y=y(x)
a
y
y=y(x)
x 軸方向の幅 ∆x の細くて円形のリボンの面積は ∆S = 2πy ×
∆x
2
+ ∆y
2
=
2πy ×
1 + (y
′
)
2
∆x だから
S = 2π
a
0
y(x)
1 + (y
′
(x))
2
dx (8.8)
である。y(0) と y(a) は固定するという条件の下、S(y, y
′
) を極小にする関数形
y(x) 何だろうか？ これを極小曲面という。定数倍 2π は関係ないので、極小曲面
を求めるためには、汎関数
S(y, y
′
) =
a
0
y(x)
1 + (y
′
(x))
2
dx (8.9)
を極小にする関数 y = y(x) を求めれば良い。
シャボン玉のように、石けん水でできる膜の面は面積が最小である。向かい
合った二つの円を石けん水につけてできる膜が上の極小曲面である。（ただし細
かいことをいえば、極小曲面が必ずしも面積最小ではない。二つの円が離れ過ぎ
ていると、石けん水で膜を張ることはできない。）
汎関数の極値を求める問題を解く方法は変分法と呼ばれる。関数 y(x) が極値
をとる x の値を求める方法が微分法であるのに対し、汎関数 I(y) が極値をとる関
数 y(x) を求める方法が変分法と言える。変分法を使えば汎関数 (8.7) や (8.9) を
最小にする関数形 y = y(x) を求めることができる。
まず微分法の復習をしよう。関数 y = y(x) について x = x
0
でテーラー展開
すると
y(x
0
+ ϵ) = y(x
0
) + ϵ ∆y(x
0
) + O(ϵ
2
) (8.10)
数値計算のための解析力学 140
8.2 ハミルトンの原理
ここで
∆y(x
0
) = y
′
(x
0
) (8.11)
は微分である。関数 y(x) が x
0
で極値をとるとは、x
0
での y の微分 ∆y がゼロと
いうことである。
y0(x)
y0(x)+εη(x)
同じように汎関数の極値について考えてみよう。汎関数 I(y, y
′
) が関数 y
0
(x)
で極値をとるということは、関数 y
0
(x) を、その関数の形から少しだけ変化させ
ても汎関数 I の値は変わらないということである。少しだけ形を変化させた関数
を y(x) = y
0
(x) + ϵη(x) とする。ここで ϵ は小さい実数、η(x) は
η(a) = η(b) = 0 (8.12)
を満たす任意の関数とする。当然 y
′
(x) = y
′
0
(x) + ϵη
′
(x) である。するとテーラー
展開から
I(y
0
+ ϵη, y
′
0
+ ϵη
′
) = I(y
0
, y
′
0
) + ϵ δI(y
0
, y
′
0
) + O(ϵ
2
) (8.13)
右辺の δI を汎関数 I の変分という。汎関数 I が y
0
(x) で極値をとるということ
は、y
0
(x) で変分 δI がゼロということである。
8.2 ハミルトンの原理
ラグランジアンが L(q, ˙q) で与えられる 1 自由度系について、
S =
t
b
t
a
L(q, ˙q) dt (8.14)
を定義する。この量は作用と呼ばれる。
無限に考えられる q = q(t) のうち、ただ一つだけが実際に実現する軌跡（＝
運動）である。その運動について、次の法則が成り立つ。これを最小作用の原理
（あるいはハミルトンの原理）という。
数値計算のための解析力学 141
第 8 章 ハミルトンの原理
ハミルトンの原理（最小作用の原理）
運動は作用の極値をとる。
N 自由度系の場合も同様で、実際の運動 q
i
= q
i
(t) に対して作用
S =
t
b
t
a
L(q
1
, ··· , q
N
, ˙q
1
, ··· , ˙q
N
, t) dt (8.15)
は極値をとる。
q = q0 - g t
q = q0 t - g t
2
/ 2
q
t
q
q0
例（質点の投げ上げ） 鉛直上向きを q 軸とする。質点を q = 0 の位置から真上
に投げ上げたところ、t
1
秒後に再び q = 0 の高さまで落ちてきたとき。その間に
ボールが取り得る軌跡は（仮想的に考えるだけなら）無数にある。そのあらゆる
仮想的な運動に対して、それぞれ作用を計算すると様々な値（実数）が具体的に
決まるが、不思議なことに、この自然界で本当に起きる運動はちょうど極値をと
るようになっている、というのがハミルトンの原理である。その意味で（自然界
でおきる）運動というのは特別なのである。
上の図に時間 t の関数としての q(t) を赤い実線で描いた。この q(t) のグラフ
を仮想的にいろいろと変えてみると、実際の質点がとる運動（つまり放物線）の
場合には、この赤い実線を t-q 面内で、わずかだけ変形しても作用が変化しない、
即ち
δ
t
1
0
m
2
˙q
2
− mgq
dt = 0 (8.16)
というのがハミルトンの原理である。自由に変えることのできるのは q(t) だけで
あることに注意しよう。 ˙q(t) の曲線（上の図で t- ˙q 平面に描かれた黒の点線）は
自由に変えることはできない。上図の赤い実線
q
(
t
)
を
δq(t) = ϵη(t) (8.17)
数値計算のための解析力学 142
8.2 ハミルトンの原理
だけ、つまり
q(t) → q
′
(t) = q(t) + ϵη(t) (8.18)
と変形させると、それに応じて ˙q(t) の形も変わる。その変わり方は
δ ˙q(t) = ϵ ˙η(t) (8.19)
である。
ラグランジュの運動方程式の導出 ハミルトンの原理からラグランジュの運動方
程式が自然に導かれる。以下では表記を短くするために
q
k
= q(t
k
), t
k
= t
a
+ k ∆t (8.20)
などとする。時刻 t
a
から t
b
の時間を K 等分して ∆t = (t
b
− t
a
)/K とし、作用
を以下のように離散化する
S =
t
b
t
a
L(q, ˙q) dt =
K−1
k=0
S
k
(8.21)
S
k
=
t
k+1
t
k
L(q, ˙q) dt (8.22)
ここで
˙q
k
=
q
k+1
− q
k
∆t
(8.23)
と近似すれば
S
k
= L(q
k
,
q
k+1
− q
k
∆t
)∆t + O(∆t
2
) (8.24)
である。
ハミルトンの原理から、運動 q = q(t) では作用が極値をとるので、ある一つ
の整数 k についての q
k
だけを正しい（実際に実現する）運動から少しだけ変化
させても S の値は変わらない。
∂S
∂q
k
= 0 (8.25)
である。
定義から q
k
に依存するのは S
k
と S
k−1
だけである。
∂S
k
∂q
k
=
∂L
∂q
(q
k
,
q
k+1
− q
k
∆t
)∆t −
∂L
∂ ˙q
(q
k
,
q
k+1
− q
k
∆t
) (8.26)
∂S
k−1
∂q
k
=
∂L
∂ ˙q
(q
k−1
,
q
k
− q
k−1
∆t
) (8.27)
数値計算のための解析力学 143
第 8 章 ハミルトンの原理
なので、式 (8.25) は
∂L
∂q
(q
k
,
q
k+1
− q
k
∆t
) −
1
∆t
∂L
∂ ˙q
(q
k
,
q
k+1
− q
k
∆t
) −
∂L
∂ ˙q
(q
k−1
,
q
k
− q
k−1
∆t
)
= 0
(8.28)
と書ける。∆t = 0 の極限ではこの式はラグランジュの運動方程式
∂L
∂q
−
d
dt
∂L
∂ ˙q
= 0 (8.29)
となる。
一般に、汎関数がある関数で極値をとる（つまり変分がゼロになる）という原
理を変分原理という。作用汎関数の変分がゼロという変分原理からラグランジュ
の運動方程式が得られたわけである。
8.3 拡張されたハミルトンの原理
ラグランジュの運動方程式がハミルトンの原理から導かれたように、正準方
程式もある種の変分原理から導くことができる。
ハミルトンの原理で極値をとるのは、作用
S =
t
1
t
0
L(q, ˙q) dt (8.30)
であった。そこで、これをヒントにしてそのような変分原理を推測してみよう。
ハミルトニアン H(q, p) が与えられた系を考える。独立変数は q と p である。ル
ジャンドル変換の関係
L = p ˙q − H (8.31)
を思い出して、q(t) と p(t) の汎関数
ˆ
S =
t
1
t
0
{p ˙q − H(q, p)} dt (8.32)
を考える。ここで注意すべきは、この汎関数は 2 次元（N 自由度系の場合には 2N
次元）の相空間中での軌跡 (q(t), p(t)) の汎関数であるという点である。次の法則
が成り立つ。これは拡張されたハミルトンの原理と呼ばれる。
拡張されたハミルトンの原理
運動は汎関数
ˆ
S の極値をとる。
数値計算のための解析力学 144
8.3 拡張されたハミルトンの原理
q = q0 t - g t
2
/ 2
q
t
p
p0
ラグランジュの運動方程式を導いたハミルトンの原理と違うのは、q と p の相
空間の中で描かれる軌跡（trajectory）の変分問題になっているということであ
る。質点の投げ上げの問題に戻ると、上の図で相空間中の実際の運動の軌跡は赤
の実線とする。この曲線を少しだけ変形しても、つまり変分をとっても汎関数
ˆ
I
が変わらないというのが、この変分原理である。このとき q の方向と p の方向に
自由に変形しても良いというのがハミルトンの原理と異なる。
式 (8.21) と同様に汎関数 (8.32) を次のように離散化する。
ˆ
S =
K−1
k=0
ˆ
S
k
(8.33)
ˆ
S
k
=
t
k+1
t
k
{p ˙q − H(q, p)} dt (8.34)
この
ˆ
S
k
の積分を次のように近似する。
ˆ
S
k
=
p
k
˙q
k
− H(q
k
, p
k
)
∆t (8.35)
ここで
˙q
k
=
q
k+1
− q
k
∆t
(8.36)
とすると
ˆ
S
k
= p
k
q
k+1
− q
k
− H(q
k
, p
k
)∆t (8.37)
である。拡張されたハミルトンの原理から、特定の k に対して
∂
ˆ
S
∂q
k
= 0 (8.38)
∂
ˆ
S
∂p
k
= 0 (8.39)
数値計算のための解析力学 145
第 8 章 ハミルトンの原理
が成り立つ。
q
t
p
p0
q
k
に依存するのは S
k
と S
k−1
だけなので、式 (8.38) から
∂
ˆ
S
∂q
k
=
∂
ˆ
S
k
∂q
k
+
∂
ˆ
S
k−1
∂q
k
= −p
k
−
∂H
∂q
(q
k
, p
k
)∆t + p
k−1
−
∂H
∂q
(q
k−1
, p
k−1
)∆t
= 0 (8.40)
∆t = 0 の極限では
dp
dt
= −
∂H
∂q
(8.41)
を得る。
また、p
k
に依存するのは
ˆ
S
k
だけなので、式 (8.39) は
∂
ˆ
S
∂p
k
=
q
k+1
− q
k
−
∂H
∂p
(q
k
, p
k
)∆t
= 0 (8.42)
これから ∆t = 0 の極限では
dq
dt
=
∂H
∂p
(8.43)
を得る。
式 (8.41) と (8.39) は正準方程式に他ならない。こうして拡張されたハミルト
ンの原理から正準方程式が導出された。
数値計算のための解析力学 146
8.4 シンプレクティック積分法
8.4 シンプレクティック積分法
上の式 (8.34) において、t = t
k
から t
k+1
までの時間積分をするときの q と p
の値を
q = q
k+1
p = p
k
としてみよう。すると
S
k
= p
k
q
k+1
− q
k
− H(q
k+1
, p
k
) ∆t (8.44)
となる。このとき、拡張されたハミルトンの原理から得られる式 (8.38) と (8.39)
から以下を得る：
∂S
∂q
k
=
∂S
k
∂q
k
+
∂S
k−1
∂q
k
= −p
k
+ p
k−1
−
∂H
∂q
(q
k
, p
k−1
) ∆t = 0 (8.45)
∂S
∂p
k
=
∂S
k
∂p
k
=
q
k+1
− q
k
−
∂H
∂p
(q
k+1
, p
k
) ∆t = 0 (8.46)
式 (8.45) で k → k + 1 とすると
− p
k+1
+ p
k
−
∂H
∂q
(q
k+1
, p
k
) ∆t = 0 (8.47)
まとめると
q
k+1
= q
k
+ ∆t
∂H
∂p
(q
k+1
, p
k
) (8.48)
p
k+1
= p
k
− ∆t
∂H
∂q
(q
k+1
, p
k
) (8.49)
を得る。
ハミルトニアンが
H(q, p) = K(p) + U (q) (8.50)
の形になっているときには式 (8.48) と (8.49) は
q
k+1
= q
k
+ ∆t
∂K
∂p
(p
k
) (8.51)
p
k+1
= p
k
− ∆t
∂U
∂q
(q
k+1
) (8.52)
となり、陽的なアルゴリズムになる。これを（一次陽的）シンプレクティック積
分法とよぶ。
数値計算のための解析力学 147
第 8 章 ハミルトンの原理
8.5 オイラー=ラグランジュ方程式
x の関数 y(x) が、固定された端点
y
a
= y(a), y
b
= y(b) (8.53)
という条件の下で、汎関数
I(y, y
′
, x) =
b
a
L(y(x), y
′
(x), x) dx (8.54)
が y = y(x) で極値をとる、つまり
δI = 0 (8.55)
が成り立つ条件を求めておこう。
y(x) を
y(x) → y(x) + ϵ η(x) (8.56)
と変えたときの汎関数 I は
I(y + ϵη, y
′
+ ϵη
′
, x) =
b
a
L(y(x) + ϵη(x), y
′
(x) + ϵη
′
(x), x) dx (8.57)
である。ここで、被積分関数を ϵ でテーラー展開すると
L(y + ϵη, y
′
+ ϵη
′
, x) = L(y, y
′
, x) +
∂L
∂y
ϵη(x) +
∂L
∂y
′
ϵη
′
(x) + O(ϵ
2
) (8.58)
なので
I(y + ϵη, y
′
+ ϵη
′
, x) =
b
a
L(y, y
′
, x) dx
+ ϵ
b
a
η(x)
∂L
∂y
dx + η
′
(x)
∂L
∂y
′
dx + O(ϵ
2
) (8.59)
= I(y, y
′
) + ϵ δI(y, y
′
) + O(ϵ
2
) (8.60)
つまり、
δI = δ
b
a
L(y, y
′
, x) dx (8.61)
=
b
a
η(x)
∂L
∂y
+ η
′
(x)
∂L
∂y
′
dx (8.62)
(8.63)
である。ここで、式 (8.53) より
η(a) = η(b) = 0 (8.64)
数値計算のための解析力学 148
8.5 オイラー=ラグランジュ方程式
なので、
b
a
η
′
(x)
∂L
∂y
′
dx =
η(x)
∂L
∂y
′
b
a
−
b
a
η(x)
d
dx
∂L
∂y
′
dx (8.65)
の右辺第一項はゼロになる。すると
δI = δ
b
a
L(y, y
′
, x) dx =
b
a
−
d
dx
∂L
∂y
′
+
∂L
∂y
η(x) dx = 0 (8.66)
となり、任意の η(x) に対して変分 δI = 0 なので
d
dx
∂L
∂y
′
−
∂L
∂y
= 0 (8.67)
が成り立つ。これをオイラー=ラグランジュの方程式という。
関数が N 個、y
i
(x) (i = 1, . . . , N) あるときも同様である。y
i
(a) と y
i
(b) (i =
1, . . . , N) が固定という端点条件の下、汎関数
I(y
1
, y
2
, ··· , y
N
, y
′
1
, y
′
2
, ··· , y
′
N
) =
b
a
L(y
1
, y
2
, ··· , y
N
, y
′
1
, y
′
2
, ··· , y
′
N
, x) dx
が極値をとる関数 y
i
(x) (i = 1, . . . , N ) は、N 個のオイラー=ラグランジュの方
程式
d
dx
∂L
∂y
′
i
−
∂L
∂y
i
= 0 (i = 1, ··· , N)
を満たす。
例として、p.140で紹介した極小曲面を求めてみよう。関数 y = y(x) を x 軸
の周りに回転してできる側面の面積を S とすると、
S(y, y
′
) =
a
0
y(x)
1 + y
′
(x)
2
dx (8.68)
であった。
L(y, y
′
) = y
1 + y
′2
(8.69)
とすれば、極小曲面は、オイラー=ラグランジュの方程式 (8.67) の解である。実
際に計算してみよう。
∂L
∂y
=
1 + y
′2
(8.70)
∂L
∂y
′
=
yy
′
1 + y
′2
(8.71)
ここまでは簡単。次が計算ミスしやすいので注意。
d
dx
∂L
∂y
′
=
d
dx
yy
′
1 + y
′2
(8.72)
=
y
′2
+ yy
′′
1 + y
′2
− ··· (8.73)
数値計算のための解析力学 149
第 8 章 ハミルトンの原理
上の結果を、オイラー＝ラグランジュの方程式 (8.67) に代入し整理すると、
yy
′′
= 1 + y
′2
(8.74)
となる。なお、この微分方程式の解は双曲線関数 y = cosh(x) である。
ハミルトンの原理
δS = δ
t
b
t
a
L(q, ˙q), dt = 0 (8.75)
と端点条件
δq(t
a
) = δq(t
b
) = 0 (8.76)
から得られるオイラー=ラグランジュの方程式がラグランジュの運動方程式
∂L
∂q
−
d
dt
∂L
∂ ˙q
= 0 (8.77)
である。
最後に、相空間中の軌道 q(t), p(t) が極値をとるという拡張ハミルトンの原理
δS
∗
=
δ
t
b
t
a
(p ˙q − H(q, p)) dt = 0 (8.78)
と端点条件
δq(t
a
) = δq(t
b
) = 0 (8.79)
から得られるオイラー=ラグランジュの方程式が正準方程式
dq
dt
=
∂H
∂p
(8.80)
dp
dt
= −
∂H
∂q
(8.81)
になるが、この際、汎関数 S
∗
には ˙p が現れないので、p に関する端点条件は不要
であることに注意しよう。
数値計算のための解析力学 150
Chapter 9
シンプレクティック積分法
9.1 シンプレクティック積分法
前の章の最後に、変分原理（修正ハミルトンの原理）からシンプレクティック
積分法という積分法が導出されることを見た。この章ではこのスキームについて
詳しく調べる。なお、この章では簡単のため、1 自由度系について述べる。多自
由度系への一般化は容易である。また、ハミルトニアンが運動エネルギー K とポ
テンシャル U の和
H(q, p) = K(p) + U (q) (9.1)
で書かれており、K と U がそれぞれ p と q だけに依存するような場合について
主に考察する。
なお、この章ではいくつかのサンプルプログラムと共に、実際の数値計算例
を（エネルギーの時間変化のグラフなどと共に）示すが、そこではそれぞれ
のスキームの特徴を示すために時間刻み幅 ∆t をあえて大きくとっているこ
とに注意すること。
正準座標
r = (q, p)
から、別の正準座標
R = (Q, P )
への変換が正準変換になっているとき、この変換はシンプレクティック条件を満
たすことは以前示した。 ある変換が正準変換になっていることを、「変換がシン
プレクティックである」、あるいは「変換がシンプレクティック性をもつ」と表
現する。シンプレクティック性をもつ数値積分法をシンプレクティック積分法と
いう。
例題として、以前も考えたリング上を質点が滑るバネ=質点系をもう一度とり
あげよう。x 軸と y 軸に接する半径 1 の円周上を質量 m の質点が滑らかに滑る。
原点と質点はバネ（ばね定数
k
、自然長
0
）で結ばれている。図のように
x
軸と
151
第 9 章 シンプレクティック積分法
1
1
q
なす角度 q とする。ハミルトニアンを再掲すると
H(q, p) =
p
2
2m
+ k (cos q + sin q) (9.2)
このハミルトニアンは式 (9.1) の形になっていて
K(p) =
p
2
2m
(9.3)
U(q) = k (cos q + sin q) (9.4)
である。
9.2 1 次陽的シンプレクティック法
前章で確認したように、1 次（陽的）オイラー法はシンプレクティックになっ
ていない。そのためにどのような悪影響があるのか、実際にリング上のバネ質点
系 (9.2) を、1 次オイラー法で解いてみよう。正準方程式を再掲すると、
dq
dt
=
p
m
(9.5)
dp
dt
= k(sin q − cos q) (9.6)
プログラムの中心部分は以下の通りである：
Listing 9.1: one ball on ring 1stEuler.cpp
1
2 v oi d e u l e r 1 s t ( s t r u c t p a r t i c l e ∗p a r t i c l e , double dt )
3 {
4 // Hamiltonian
数値計算のための解析力学 152
9.21 次陽的シンプレクティック法
5 // H( q , p ) = p ˆ2/(2m) + k ( co s q + s i n q )
6 //
7 double q = p a r t i c l e −>pos [ 0 ] ;
8 double p = p a r t i c l e −>pos [ 1 ] ;
9 double dq , dp ;
10 dq = ( p ∗ MASS INV ) ∗ dt ;
11 dp = ( SPRING K ∗ ( s i n ( q ) − co s ( q ) ) ) ∗ dt ;
12 q += dq ;
13 p += dp ;
14
15 p a r t i c l e −>pos [ 0 ] = q ;
16 p a r t i c l e −>pos [ 1 ] = p ;
17
18 s td : : cout << ” t o t a l energy : ”
19 << st d : : s c i e n t i f i c
20 << t o t a l e n e r g y ( p a r t i c l e −>pos )
21 << st d : : end l ;
22 }
たとえば、(q, p) = (2, 0) の初期条件の下で、これを実行すると・・・明らか
に変なことが起きている。はじめは q = −3π/4 を中心に振動していた質点が、次
第にその振幅を大きくしていき、ついには回転運動をはじめてしまう。これは系
の全エネルギーが増加してしまっていることを意味する。実際に全エネルギーを
プロットしてみるとそれが確認できる。
1 次オイラー法は、1 ステップで O(∆t
2
) の誤差がある。有限時間 T まで積分
するには N/∆t ステップだけ 1 次オイラー法を繰り返し適用するので、最終的に
は O(∆t) の誤差が生じるのは仕方がない。しかしながらこの例のように全エネル
ギーが変わると解の振る舞いが（振動状態と回転状態の違いのように）定性的に
異なる系に対しては、どれだけ長時間（多ステップ）積分しても全エネルギーは
数値計算のための解析力学 153
第 9 章 シンプレクティック積分法
なるべく変わらないようにしたい。
1 ステップで O(∆t) の精度をもつ数値積分法（＝ 1 次精度積分法）は、（O(∆t
2
)
だけの自由度があるので）無限のバリエーションが存在する。1 次オイラー法は
その中の一つにすぎない。この章では無数にある 1 次精度積分法の中から「シン
プレクティック性をもつ」という条件を付けるとエネルギーの保存性がどうなる
か調べよう。なお後で見るように 1 次精度のシンプレクティックな数値積分法も
複数存在する。
ハミルトニアンが式 (9.1) で与えられるとき、1 次オイラー法は、
q
n+1
= q
n
+ ∆t
dK
dp
(p
n
) (9.7)
p
n+1
= p
n
− ∆t
dU
dq
(q
n
) (9.8)
と書ける。これをほんの少し（赤字の部分）だけ変えて
1 次シンプレクティック積分法: SI01a
q
n+1
= q
n
+ ∆t
dK
dp
(p
n
) (9.9)
p
n+1
= p
n
− ∆t
dU
dq
(q
n+1
) (9.10)
とする。実はこの積分法はシンプレクティックな積分法になっている。
r = (q
n
, p
n
) から R = (q
n+1
, p
n+1
) への変換が正準変換であることをポアッ
ソン括弧で調べてみよう。1 自由度系の場合には {Q, Q} = {P, P } = 0 は自明な
ので、{Q, P } だけを調べれば良い。
Q = q + ∆t
dK(p)
dp
P = p −∆t
dU(Q)
dq
= p −∆t
dU
dq
(q + ∆t
dK(p)
dp
)
に注意すると、
{Q, P } =
∂Q
∂q
∂P
∂p
−
∂P
∂q
∂Q
∂p
= 1 ×
1 −
∆t
d
2
U
dq
2
∆t
d
2
K
dp
2
−
−∆t
d
2
U
dq
2
∆t
d
2
K
dp
2
= 1 −∆t
2
d
2
U
dq
2
d
2
K
dp
2
+ ∆t
2
d
2
U
dq
2
d
2
K
dp
2
= 1 (9.11)
従って式 (9.9) と (9.10) は正準変換である。この積分法は 1 次精度の陽的なシン
プレクティック法である。ここではこのスキームを SI01a と呼ぶことにする。
数値計算のための解析力学 154
9.21 次陽的シンプレクティック法
式 (9.9) と (9.10) に基づいてコードを作ってみよう。見ての通り、このコード
は 1 次オイラー法とほとんど同じである。
Listing 9.2: one ball on ring 1stSymplectic.cpp
1
2 v oi d s y m p l ec t i c 1 s t ( s t r u c t p a r t i c l e ∗ p a r t i c l e , double dt )
3 {
4 // Hamiltonian
5 // H( q , p ) = pˆ2/(2m) + k ( co s q + s i n q )
6 //
7 doub le p = p a r t i c l e −>pos [ 1 ] ;
8 doub le q = p a r t i c l e −>pos [ 0 ] ;
9 doub le dq , dp ;
10
11 dq = ( p ∗ MASS INV ) ∗ dt ;
12 q += dq ;
13
14 dp = ( SPRING K ∗ ( s i n ( q ) − cos ( q ) ) ) ∗ dt ;
15 p += dp ;
16
17 p a r t i c l e −>pos [ 0 ] = q ;
18 p a r t i c l e −>pos [ 1 ] = p ;
19
20 s td : : cout << ” t o t a l ene rgy : ”
21 << std : : s c i e n t i f i c
22 << t o t a l e n e r g y ( p a r t i c l e −>pos )
23 << std : : e nd l ;
24
}
このコードを実行すると、図のようにエネルギーは（振動こそすれ）オイラー
法の時のように増大し続けることはなく、質点の運動が振動運動が回転運動に変
わってしまうような明らかに定性的におかしな解になることもない。
1 次シンプレクティック法 SI01a［式 (9.9) と (9.10)］と 1 次オイラー法［(9.7)
と (9.8)］との違いはほんのわずかである。式 (9.10) で前の時間ステップの値 q
n
を使うと 1 次オイラー法となる。このわずかな違いによって積分がシンプレク
ティック（正準変換）になること、そしてその効果が大きいことは実に印象的で
ある。
1 次シンプレクティック法 SI01a［式 (9.9) と (9.10)］では、式 (9.9) でまず q
n
の値を q
n+1
に更新してからその新しい q
n+1
を使って式 (9.10) をつかって p
n
を
更新する。この順番を逆にした以下のスキーム（SI01b）もシンプレクティック
性を持つことを確認することができる。
数値計算のための解析力学 155
第 9 章 シンプレクティック積分法
1 次シンプレクティック積分法: SI01b
p
n+1
= p
n
− ∆t
dU
dq
(q
n
) (9.12)
q
n+1
= q
n
+ ∆t
dK
dp
(p
n+1
) (9.13)
9.3 練習問題: レポート課題
ハミルトニアンが H(q, p) = q
2
/2 + p
2
/2 で与えられる系の正準方程式を上記
SI01b アルゴリズムで数値的に積分する。時刻 t における状態を (q, p)、時刻 t + τ
における状態を (q
′
, p
′
) とすると、p
′
= p −τ q, q
′
= q + τp
′
である。
(a) 変換 (q, p) ⇒ (q
′
, p
′
) が正準変換であることを示せ。
(b) このアルゴリズムでは全エネルギーの 2 倍 2E = q
2
+ p
2
が保存しないこと
を示せ。
(c) このアルゴリズムでは 2E
∗
= q
2
+ p
2
− τqp が保存することを示せ。
(d) 長時間積分をするのにこのアルゴリズムは望ましい性質をもっていると言え
る。なぜか述べよ。
略解
(a) 解答例 1: ポアッソン括弧を使う方法。まず、{q
′
, q
′
} = {p
′
, p
′
} = 0 は自明。
数値計算のための解析力学 156
9.3 練習問題: レポート課題
次に、
{q
′
, p
′
} = {q + τp
′
, p
′
}
= {q, p
′
} + τ {p
′
, p
′
}
= {q, p − τq} + 0
= {q, p} − τ {q, q}
= 1
従って変換 (q, p) ⇒ (q
′
, p
′
) は正準変換である。
解答例 2: 直接条件による方法。
q
′
p
′
=
1 −τ
2
τ
−τ 1
q
p
とかけるから、これを解いて
q
p
=
1 −τ
τ 1 −τ
2
q
′
p
′
これから
∂q
′
∂q
∂q
′
∂p
∂p
′
∂q
∂p
′
∂p
=
1 −τ
2
τ
−τ 1
と
∂q
∂q
′
∂q
∂p
′
∂p
∂q
′
∂p
∂p
′
=
1 −τ
τ 1 −τ
2
を得る。比較すると正準変換の直接条件
∂q
′
∂q
=
∂p
∂p
′
,
∂q
′
∂p
= −
∂q
∂p
′
,
∂p
′
∂p
=
∂q
∂q
′
,
∂p
′
∂q
= −
∂p
∂q
′
.
が成り立っているので、これは正準変換である。
(b)
p = p −τ q, q
′
= (1 −τ
2
)q + τp
だから
2E
′
= q
′2
+ p
′2
= (1 −τ
2
+ τ
4
)q
2
+ (1 + τ
2
)p
2
− 2τ
3
qp
これは
2E = q
2
+ p
2
と異なる。つまり全エネルギーは保存しない。
数値計算のための解析力学 157
第 9 章 シンプレクティック積分法
(c)
q
′
p
′
= (1 −2τ
2
)qp + τ p
2
− τ(1 −τ
2
)q
2
なので
q
′2
+ p
′2
− τq
′
p
′
= q
2
+ p
2
− τqp
が成り立つ。従って 2E
∗
は保存する。
(d) このアルゴリズムは全エネルギー E は保存しないが、E とは O(τ) だけ異な
る E
∗
を保存する。したがって、長時間積分しても全エネルギーの誤差は
O(τ) にとどまるので、全エネルギーの保存性が重要な問題を解くのに適し
ている。
9.4 シンプレクティック性の由来
積分法 SI01a がなぜ正準変換になっているのか、その由来を調べてみよう。
9.4.1 正準方程式の形式的厳密解
以下では相空間中の位置（つまり系の状態）r
r =
q
p
(9.14)
の関数に作用する演算子を
ˆ
A のようにハットを付けて書くことにする。
正準変数の関数 f と g のポアッソン括弧 {f, g} を、f に
ˆ
D(g) という演算子が
作用したものとみることにしよう。つまり
ˆ
D(g)(·) = {·, g} (9.15)
である。また、
ˆ
D
2
(g)(·) = {{·, g}, g} (9.16)
のように演算子のべきを定義する。ハミルトニアン H(q, p) の系の正準方程式は
dr
dt
=
ˆ
D(H) r (9.17)
と書ける。つまり
ˆ
D(H) は系の状態変化（時間微分）の演算子である。
時刻 t の状態 r = r(t) から τ だけ時間が経った状態を r(t + τ) とする。ここ
では τ は有限で、無限小とは限らない。テーラー展開より
r(t + τ ) = r +
τ
1!
d
dt
r +
τ
2
2!
d
2
dt
2
r +
τ
3
3!
d
3
dt
3
r + ··· (9.18)
= r +
τ
1!
ˆ
D(H)r +
τ
2
2!
ˆ
D(H)
2
r +
τ
3
3!
ˆ
D(H)
3
r + ··· (9.19)
ここで演算子
ˆ
A の指数関数を
Exp(
ˆ
A) =
∞
n=0
1
n!
ˆ
A
n
(9.20)
数値計算のための解析力学 158
9.4 シンプレクティック性の由来
と定義すると
r(t + τ ) = Exp(τ
ˆ
D(H)) r, (9.21)
Exp(τ
ˆ
D(H)) =
∞
n=0
τ
n
n!
ˆ
D(H) (9.22)
演算子 Exp(τ
ˆ
D(H)) はハミルトニアン H の系の状態を時間 τ だけ進める（時間
推進の）演算子である。式 (9.21) が示すように、正準方程式を積分するというこ
とは、時間推進演算子 Exp(τ
ˆ
D(H)) を求めることに他ならない。
前章で示したように、ハミルトニアン H(r) によって定まる r(t) ⇒ r(t + τ)
という写像（つまり運動）はシンプレクティック変換なので、時間推進の演算子
Exp(τ
ˆ
D(H)) はシンプレクティック変換である。
ある座標変換 r(0) ⇒ r
′
= r(τ) について、
r
′
= Exp(τ
ˆ
D(h)) r (9.23)
という形で書けるような関数 h(q, p) が存在すれば、この変換は正準変換であり、
その変換は h をハミルトニアンとする系の（初期条件 r から出発して r
′
に至る）
運動である。
9.4.2 時間推進演算子が解ける例
H が p だけの関数、つまり
H = K(p) (9.24)
という形で与えられる場合には時間推進演算子を具体的に書くことが可能である。
これはポテンシャルの存在しない系の運動（自由運動）に相当する。このとき、
式 (9.15) より
ˆ
D(H) =
ˆ
D(K) =
dK
dp
∂
∂q
(9.25)
である。一方、正準方程式に戻って考えると
dr
dt
=
dq
dt
dp
dt
=
dK
dp
(p)
0
(9.26)
である。この微分方程式は簡単に積分できて
r(t + τ ) =
q(t) + τ
dK
dp
(p(t))
p(t)
(9.27)
である。従って時間推進演算子は
Exp(τ
ˆ
D(K)) r =
q + τ
dK(p)
dp
p
(9.28)
である。
数値計算のための解析力学 159
第 9 章 シンプレクティック積分法
同様にハミルトニアンが q のみの関数
H = U(q) (9.29)
つまり
ˆ
D(H) =
ˆ
D(U) = −
dU
dq
∂
∂p
(9.30)
の場合についても時間推進演算子は厳密に計算できる。このとき正準方程式
dr
dt
=
dq
dt
dp
dt
=
0
−
dU(q)
dq
(9.31)
の厳密解は
r(t + τ ) =
q(t)
p(t) −τ
dU
dq
(q(t))
(9.32)
従って時間推進演算子は厳密に
Exp(τ
ˆ
D(U)) r =
q
p −τ
dU
dq
(q)
(9.33)
である。
9.4.3 合成変換による厳密解の近似
時間推進演算子 Exp(τ
ˆ
D(H)) は、H が p だけの関数 K(p) の時には式 (9.28)
として、H が q だけの関数 U(q) の時には式 (9.33) として明示的に得られた。し
かし、H が
H(q, p) = K(p) + U (q) (9.34)
という形の時の時間推進演算子
Exp(τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)) =
∞
n=0
1
n!
τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)
n
= 1 + τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)
+
τ
2
2!
ˆ
D(K)
2
+
ˆ
D(K)
ˆ
D(U) +
ˆ
D(U)
ˆ
D(K) +
ˆ
D(U)
2
+
τ
3
3!
ˆ
D(K)
3
+
ˆ
D(K)
2
ˆ
D(U) +
ˆ
D(K)
ˆ
D(U)
ˆ
D(K) + ···
+ ··· (9.35)
を簡単に書くことはできない。
シンプレクティック積分法 SI01a は厳密な時間推進演算子 Exp(τ
ˆ
D(K) +
τ
ˆ
K(U)) を、（演算の形が既知である）二つの演算子 Exp(τ
ˆ
D(K)) と Exp(τ
ˆ
D(U))
を組み合わせて
Exp(τ
ˆ
D(H)) = Exp(τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)) (9.36)
∼ Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) (9.37)
数値計算のための解析力学 160
9.4 シンプレクティック性の由来
と近似する方法である。
r =
q
p
=
q
n
p
n
, r
′
=
q
′
p
′
=
q
n+1
p
n+1
, τ = ∆t (9.38)
とすると、シンプレクティック積分法 SI01a［式 (9.9) と (9.10)］は
q
′
= q + τ
dK
dp
(p) (9.39)
p
′
= p −τ
dU
dq
(q
′
) (9.40)
である。これが
q
′
p
′
= Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U))
q
p
(9.41)
であることを確認しよう。まず、
Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) q =Exp(τ
ˆ
D(K))
1 −τ
dU
dq
∂
∂p
+ ···
q
=Exp(τ
ˆ
D(K)) q
=
1 + τ
dK
dp
∂
∂q
+ τ
2
dK
dp
2
∂
2
∂q
2
+ ···
q
=q + τ
dK
dp
=q
′
(9.42)
つぎに
Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) p =Exp(τ
ˆ
D(K))
1 −τ
dU
dq
∂
∂p
+ τ
2
dU
dq
2
∂
2
∂p
2
+ ···
p
=Exp(τ
ˆ
D(K))
p −τ
dU
dq
=
1 + τ
dK
dp
∂
∂q
+ τ
2
dK
dp
2
∂
2
∂q
2
+ ···
p −τ
dU
dq
=p −τ
1 + τ
dK
dp
∂
∂q
+ τ
2
dK
dp
2
∂
2
∂q
2
+ ···
dU
dq
(q)
=p −τ
dU
dq
(q + τ
dK
dp
) ［テーラー展開］
=p −τ
dU
dq
(q
′
)
=p
′
(9.43)
数値計算のための解析力学 161
第 9 章 シンプレクティック積分法
こうして式 (9.41) が確認できた。
変換 Exp(τ
ˆ
D(K)) と変換 Exp(τ
ˆ
D(U)) はどちらも正準変換であり、第 7.4章で
示したように正準変換の合成変換は正準変換なので、Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U))
も正準変換である。こうして積分公式 SI01a がシンプレクティック性を持つこと
は確認するまでもなく自明となった。
近似式 (9.37) の誤差を見積もってみよう。
Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) =
∞
n=0
τ
n
n!
ˆ
D(K)
n
∞
n=0
τ
n
n!
ˆ
D(U)
n
= 1 + τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
D(U)
+
τ
2
2!
ˆ
D(K)
2
+ 2
ˆ
D(K)
ˆ
D(U) +
ˆ
D(U)
2
+ ··· (9.44)
なので、
Exp(τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)) = Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) +
ˆ
Err(τ ) (9.45)
とすると、式 (9.35) より
ˆ
Err(τ ) =
τ
2
2
ˆ
D(K)
ˆ
D(H) −
ˆ
D(U)
ˆ
D(K)
+ ··· (9.46)
つまり 1 ステップの誤差は O(τ
2
) である。これは 1 次オイラー法と同じである。
1
ステップあたりの精度は同じなのに
SI01a
にするとなぜ長時間積分しても全エ
ネルギーがずれていかないのかその理由を次に探る。
9.5 エネルギーの誤差
積分公式 SI01a（及び SI01b）によって、時刻 t = t
n
の状態
r
n
=
q
n
p
n
(9.47)
が時刻 t = t
n
+ ∆t の状態
r
n+1
=
q
n+1
p
n+1
(9.48)
に移る。この変換 r
n
⇒ r
n+1
は一つの正準変換なので、この正準変換に対応す
る「仮想的な運動」が存在し、その仮想的な運動に対応するハミルトニアン
˜
H も
存在するであろう。そのハミルトニアン
˜
H は、今考えている（数値積分で解こう
としている）本来のハミルトニアン H
H(q, p) = K(p) + U (q) (9.49)
とは一致しない。（一致するのであれば、SI01a は上のハミルトニアンの厳密解を
計算できる理想的な数値積分法ということになる。）本来のハミルトニアン H で
数値計算のための解析力学 162
9.5 エネルギーの誤差
はないが、SI01a は
˜
H というハミルトニアンに対する厳密な数値積分法になって
いる。これの意味するところは大きい。厳密解であれば、この系のエネルギー
˜
H
が保存する。つまり計算スキーム SI01a はどれだけ長時間積分してもエネルギー
˜
H を一定に保つ。では
˜
H と H はどれだけずれているのであろうか？
式 (9.45) を再掲すると
Exp(τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
K(U)) = Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) +
ˆ
Err(τ ) (9.50)
この下線部が「仮想的な運動」に対応する演算子 Exp(τ
ˆ
D(
˜
H)) に一致するはずな
ので、
Exp(τ
ˆ
D(
˜
H)) = Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) (9.51)
と置き、この
˜
H を求める。
一般に非可換演算子
ˆ
A,
ˆ
B に対して以下の公式（Baker-Campbell-Hausdorff
公式）が成り立つ。
Exp(
ˆ
A) Exp(
ˆ
B) = Exp(
ˆ
C) (9.52)
ˆ
C =
ˆ
A +
ˆ
B +
1
2
[
ˆ
A,
ˆ
B]
+
1
12
[
ˆ
A −
ˆ
B, [
ˆ
A,
ˆ
B]]
−
1
24
[
ˆ
B,
[
ˆ
A,
[
ˆ
A,
ˆ
B
]]] +
··· (9.53)
ここで
[
ˆ
A,
ˆ
B] =
ˆ
A
ˆ
B −
ˆ
B
ˆ
A (9.54)
等である。これを使うと、
Exp(τ
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) = Exp(
ˆ
C) (9.55)
数値計算のための解析力学 163
第 9 章 シンプレクティック積分法
として
ˆ
C = τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
D(U) +
τ
2
2
[
ˆ
D(K),
ˆ
D(U)]
+
τ
3
12
[
ˆ
D(K) −
ˆ
D(U), [
ˆ
D(K),
ˆ
D(U)]]
−
τ
4
24
[
ˆ
D(U), [
ˆ
D(K), [
ˆ
D(K),
ˆ
D(U)]]] + ···
= τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
D(U) +
τ
2
2
ˆ
D(α)
+
τ
3
12
[
ˆ
D(K − U),
ˆ
D(α)]
−
τ
4
24
[
ˆ
D(U), [
ˆ
D(K),
ˆ
D(α)]] + ···
= τ
ˆ
D(K) + τ
ˆ
D(U) +
τ
2
2
ˆ
D(α)
+
τ
3
12
ˆ
D({α, K − U})
−
τ
4
24
ˆ
D({{α, K}, U }) + ···
= τ
ˆ
D(K + U +
τ
2
α +
τ
2
12
{α, K − U} −
τ
3
24
{{α, K}, U} + ···) (9.56)
ここで
α = {U, K} (9.57)
とした。上の式変形では
ˆ
D(K) −
ˆ
D(U) =
ˆ
D(K − U) (9.58)
などの
ˆ
D の線形性と、次の公式 (9.59) を複数回使った：任意の f, g に対して
[
ˆ
D(f),
ˆ
D(g)] =
ˆ
D({g, f}) (9.59)
これはヤコビ恒等式を使えば証明できる。
式 (9.51) と (9.55), (9.56) より
˜
H = K + U +
τ
2
α +
τ
2
12
{α, K − U} −
τ
3
24
{{α, K}, U} + ··· (9.60)
である。ハミルトニアン (9.49) との差は
˜
H − H =
τ
2
α +
τ
2
12
{α, K − U} −
τ
3
24
{{α, U}, K} + ··· (9.61)
シンプレクティック積分法 SI01a はどれだけ積分しても、常に
˜
H を一定に保つ
が、その値は本来の系のエネルギー H とは O(τ) だけしかずれていないことをこ
の式は意味する。
数値計算のための解析力学 164
9.6 高精度化
この章の最初の例題にもどると、SI01a では O(τ) でエネルギーが振動してい
た。計算修正されたエネルギー
˜
H は厳密に保存するはずである。式 (9.60) の無
限級数を計算することはできないので、O(τ
2
) の項までで
˜
H を近似してプロット
したグラフが以下である。
9.6 高精度化
1 次精度のシンプレクティック法 SI01a（または SI01b）の精度を上げるため
には次のようにすれば良い。一般に演算子
ˆ
A と
ˆ
B に対して
Exp(τ
ˆ
A + τ
ˆ
B) = Exp(
τ
2
ˆ
A) Exp(τ
ˆ
B) Exp(
τ
2
ˆ
A) + O(τ
3
) (9.62)
である。そこで、ハミルトニアン
H = U(q) + K(p) (9.63)
に対する時間推進演算子を
Exp(τ
ˆ
D(H)) ∼ Exp(
τ
2
ˆ
D(K)) Exp(τ
ˆ
D(U)) Exp(
τ
2
ˆ
D(K)) (9.64)
と近似すれば、その誤差は O(τ
3
) なので 2 次精度の数値積分法になっている。ま
た、右辺は既知（式 (9.28) と式 (9.33)）の正準変換の合成したものなので、全体
としても明らかに正準変換になっている。つまりこれは 2 次シンプレクティック
法である。さらにより高次のシンプレクティック積分法も開発されている。
最後に：この章では、式 (9.63) という特殊な形のハミルトニアンに対する陽
的なシンプレクティック積分法を紹介した。一般的なハミルトニアンに対するシ
ンプレクティック法も存在するが、それは陰的な方法である。つまり毎ステップ
連立方程式を解く必要がある。
数値計算のための解析力学 165
Appendix A
数値積分法
A.1 1 次オイラー法
t
n
x
t
x
n
t の関数 x = x(t) の常微分方程式を考える。
dx
dt
= f(x, t) (A.1)
ある時刻 t
n
での解 x
n
は既知とする。時間が ∆t だけ進んだ未来の時刻 t
n+1
=
t
n
+ ∆t での解 x
n+1
を求める。
微分方程式 (A.1) の右辺 f(x, t) を 2 次元空間 t–x の場とみなそう。この微分
方程式のある初期条件に対する解は、t–x 空間上の曲線 x = x(t) である。これを
解曲線という。異なる初期条件は異なる解曲線をもつ。二つの解曲線が交わるこ
とはない。したがって、この x-t 空間は（異なる初期条件に対応する）無数の解
曲線でびっしりと埋め尽くされている。各点での関数 f(x, t) は、その位置を通る
解曲線 x = x(t) の接線の傾きである。
167
第 A 章 数値積分法
さて、この微分方程式 (A.1) を数値的に解く（つまり積分する）ことを考えよ
う。時刻 t
n
での曲線 x(t) の接線を ∆t だけ延長して
t
n
t
n+1
Δt
x
t
x
n
x
n+1
= x
n
+
dx
dt
n
∆t (A.2)
と近似するのが（陽的）1 次オイラー法である。式 (A.1) より
dx
dt
n
= f(x
n
, t
n
) (A.3)
だから一次オイラー法は
x
n+1
= x
n
+ f(x
n
, t
n
) ∆t (A.4)
と書ける。x = x(t) の曲線がまっすぐ（t の一次関数）ではない場合、一次オイ
ラー法には誤差があるのが上の図から明らかである。
数値計算のための解析力学 168
A.11 次オイラー法
t
n
t
n+1
Δt
f = f(x(t),t)
t
Δx
微分方程式 (A.1) の厳密解は
x
n+1
= x
n
+
t
n+1
t
n
f(x, τ ) dτ (A.5)
なので、
∆x =
t
n+1
t
n
f(x, τ ) dτ (A.6)
を定義すると、一次オイラー法は
∆x ∼ f(x
n
, t
n
) ∆t (A.7)
と近似していることを意味する。
数値計算のための解析力学 169
第 A 章 数値積分法
A.2 2 次ルンゲ=クッタ法
t
n
t
n+1
Δt
f = f(x(t),t)
t
Δx
厳密解の積分
∆x =
t
n+1
t
n
f(x, τ ) dτ (A.8)
の精度を上げるためには、台形公式
∆x =
1
2
f(x
n
, t
n
) ∆t + f(x
n+1
, t
n+1
) ∆t
(A.9)
を使えば良い。つまり
x
n+1
= x
n
+
1
2
f(x
n
, t
n
) ∆t + f(x
n+1
, t
n+1
) ∆t
(A.10)
であるが、右辺の最後の項には、今求めようとしている x
n+1
が入っているので、
このままでは使えない。そこで x
n+1
を一次オイラー法を使って近似した値 x
∗
を
使う。
x
∗
= x
n
+ f(x
n
, t
n
) ∆t (A.11)
x
n+1
= x
n
+
1
2
f(x
n
, t
n
) ∆t + f(x
∗
, t
n+1
) ∆t
(A.12)
これを 2 次ルンゲ=クッタ法という。
∆x
(1)
= f(x
n
, t
n
) ∆t (A.13)
∆x
(2)
= f(x
∗
, t
n+1
) ∆t (A.14)
数値計算のための解析力学 170
A.34 次ルンゲ=クッタ法
と定義すると、
x
n+1
= x
n
+
1
2
∆x
(1)
+ ∆x
(2)
(A.15)
である。
t
n
t
n+1
Δt
x
t
x
n
Δx
(2)
Δx
(1)
x
f のグラフではなく、解曲線で考えると、2 次ルンゲ=クッタ法は次のように
理解できる。
1. t-x 平面上の点 (t
n
, x
n
) での解曲線の接線を L
1
とする。
2. L
1
と直線 t = t
n+1
の交点を P とする（一次オイラー法）。
3. P での解曲線の接線を L
2
とする。
4. L
2
を平行移動し、(t
n
, x
n
) を通るようにする。これを L
′
2
とする。
5. (t
n
, x
n
) から 2 本の直線 L
1
と L
′
2
をそれぞれ ∆t だけ右に進めたときの増分
の平均値を x
n+1
とする。
A.3 4 次ルンゲ=クッタ法
2 次のルンゲ=クッタ法よりもさらに精度を上げるためには、台形公式 (A.9)
の代わりにシンプソンの公式
∆x =
∆t
6
f
n
+ 4f
n+1/2
+ f
n+1
(A.16)
数値計算のための解析力学 171
第 A 章 数値積分法
を使えばよい。ここで
f
n
= f(x
n
, t
n
) (A.17)
f
n+1/2
= f(x
n+1/2
, t
n+1/2
) (A.18)
f
n+1
= f(x
n+1
, t
n+1
) (A.19)
である。（式 (A.18) では t = t
n
+ ∆t/2 での x と t を x
n+1/2
と t
n+1/2
とした。）
f
n+1/2
と f
n+1
は未知である。そこで、f
n+1/2
は 2 次のルンゲ=クッタ法で推測
した値を、f
n+1
は別の方法で推測した値を用いる。
x
n+1
= x
n
+
∆t
6
k
1
+
∆t
3
k
2
+
∆t
3
k
3
+
∆t
6
k
4
(A.20)
とするのが 4 次ルンゲ=クッタ法の公式（の一つ）である。ここで
k
1
= f(x
n
, t
n
) (A.21)
k
2
= f(x
n
+
∆t
2
k
1
, t
n
+
∆t
2
) (A.22)
k
3
= f(x
n
+
∆t
2
k
2
, t
n
+
∆t
2
) (A.23)
k
4
= f(x
n
+ ∆tk
3
, t
n
+ ∆t) (A.24)
である。
解曲線を見てこの公式の意味と手順を考えよう。
P
1
L
1
L
2
P
2
t
n
t
n+1/2
t
n+1
x
t
P
0
L’
2
x
n
L
3
L’
3
P
3
L
4
数値計算のための解析力学 172
A.4 時間依存のない場合
4 次ルンゲ=クッタ法の手順
1. t = t
n
での x の値を x
n
、点 (t
n
, x
n
) を P
0
とする。
2. P
0
での解曲線 x(t) の接線を L
1
とする［式 (A.21)］。
3. t
n
+ ∆t/2 を t
n+1/2
とし、L
1
と直線 t = t
n+1/2
の交点を P
1
とする。
4. P
1
での解曲線の接線を L
2
とする［式 (A.22)］。
5. L
2
を平行移動し、P
0
を通るようにする。これを L
′
2
とする。
6. L
′
2
と直線 t = t
n+1/2
の交点を P
2
とする。
7. P
2
での解曲線の接線を L
3
とする［式 (A.23)］。
8. L
3
を平行移動して、P
0
を通るようにする。これを直線 L
′
3
とする。
9. L
′
3
と直線 t = t
n+1
の交点を P
3
とする。
10. P
3
での解曲線の接線を L
4
とする［式 (A.24)］。
11. L
1
, L
2
, L
3
, L
4
の傾きを 1:2:2:1 の重みで平均した直線を P
0
から伸ば
し、t = t
n
との交点の x を x
n
とする［式 (A.20)］。
直線 L
i
の傾きが k
i
である（i = 1, 2, 3, 4）。P
1
と P
2
の中点を求める操作は、
時間刻み幅を ∆t/2 としたときの 2 次ルンゲ=クッタに相当する。そこで、k
2
と
k
3
の平均値を
¯
k =
k
2
+ k
3
2
(A.25)
とすれば、最後のステップで x
n
から x
n+1
への増分 k は
k =
k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
6
=
1
6
k
1
+ 4
¯
k + k
4
(A.26)
である。これはシンプソンの公式である。
A.4 時間依存のない場合
解くべき微分方程式が
dx(t)
dt
= f(x) (A.27)
というタイプの場合、つまり右辺が陽には t に依存しない場合、4 次ルンゲ=クッ
タ法の公式は
x(t
0
) = x
0
(A.28)
として、
x
n+1
= x
n
+
∆t
6
k
1
+
∆t
3
k
2
+
∆t
3
k
3
+
∆t
6
k
4
(A.29)
数値計算のための解析力学 173
第 A 章 数値積分法
である。ここで
k
1
= f(x
n
) (A.30)
k
2
= f(x
n
+
∆t
2
k
1
) (A.31)
k
3
= f(x
n
+
∆
t
2
k
2
) (A.32)
k
4
= f(x
n
+ ∆tk
3
) (A.33)
A.5 連立微分方程式系
連立微分方程式の場合も解ける。たとえば t の関数 α = α(t) と β = β(t) が結
合している系
dα
dt
= f(α, β, t)
dβ
dt
= g(α, β, t)
をルンゲ=クッタ法で数値積分するには、
∆α
(k)
= f(α
†
, β
†
, t
†
) ∆t
∆β
(k)
= g(α
†
, β
†
, t
†
) ∆t
というそれぞれの変数の増分を計算し、その線形和をとればよい。
A.6 2 階微分方程式系
ラグランジアン L(q
1
, . . . , q
N
, ˙q
1
, . . . , ˙q
N
) からラグランジュの運動方程式を作
ると、q
i
の 2 階微分が出てくる。2 階の微分方程式に 4 次ルンゲ=クッタ法など
の数値積分法を応用するのは簡単である。変数を増やし（したがって式も増える
が）一階の微分方程式系に変えてから積分すればよい。
例えば q の 2 階微分を含む
¨q = f (q, ˙q) (A.34)
という微分方程式は、
p = ˙q (A.35)
という新しい変数を定義すれば
˙p = f(q, p) (A.36)
˙q = p (A.37)
という連立方程式になり、1 階微分しか出てこない。もとの 2 階微分方程式が連
立方程式の場合（自由度が 2 以上の場合）も同様である。
数値計算のための解析力学 174
